-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
otchet.tex
405 lines (297 loc) · 24 KB
/
otchet.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{extsizes}
\usepackage{cmap}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
% \usepackage[russian]{babel}
\usepackage[english, russian]{babel}
% \usepackage{newtx}
% \usepackage{cyrtimes}
\usepackage{misccorr}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{graphicx} % для вставки картинок
\graphicspath{{img/}}
\usepackage{amssymb,amsfonts,amsmath,amsthm} % математические дополнения от АМС
% \usepackage{fontspec}
% \usepackage{unicode-math}
\usepackage{indentfirst} % отделять первую строку раздела абзацным отступом тоже
\usepackage[usenames,dvipsnames]{color} % названия цветов
\usepackage{makecell}
\usepackage{multirow} % улучшенное форматирование таблиц
\usepackage{ulem} % подчеркивания
\linespread{1.3} % полуторный интервал
% \renewcommand{\rmdefault}{ftm} % Times New Roman (не работает)
\frenchspacing
\usepackage{geometry}
\geometry{left=3cm,right=2cm,top=3cm,bottom=3cm,bindingoffset=0cm}
\usepackage{titlesec}
% \definecolor{black}{rgb}{0,0,0}
% \usepackage[colorlinks, unicode, pagecolor=black]{hyperref}
% \usepackage[unicode]{hyperref} %ссылки
\usepackage{fancyhdr} %загрузим пакет
\pagestyle{fancy} %применим колонтитул
\fancyhead{} %очистим хидер на всякий случай
\fancyhead[LE,RO]{Сарафанов Ф.Г.} %номер страницы слева сверху на четных и справа на нечетных
\fancyhead[CO, CE]{Отчёт по лабораторной работе №16}
\fancyhead[LO,RE]{Определение ${g}$}
\fancyfoot{} %футер будет пустой
\fancyfoot[CO,CE]{\thepage}
\renewcommand{\labelenumii}{\theenumii)}
\newcommand{\ddt}{$\ \pm\ 0.2\ \text{с}$}
\newcommand{\ddtv}{$\ \pm\ 0.8\ \text{с}$}
\newcommand{\ddh}{$\ \pm\ 0.1\ \text{см}$}
\usepackage{amsthm}
\newtheorem{define}{Определение}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{problem}{Задача}
\begin{document}
% \section{}
\section{Отчёт по лабораторной работе №12}
\subsection{Физические основы лабораторной работы}
Для получения ускорения свободного падения при помощи математического маятника используется установка из маятника с длиной нити, много большей радиуса груза (шарика), зеркальной шкалы, градусной шкалы отклонения груза $\phi$ и секундомера.
Нить предполагается невесомой и нерастяжимой, пренебрегается силами трения. Тогда можно рассмотреть движение маятника в поле консервативной силы - силы гравитации и найти ${g}$.
Маятник двигается по закону
\begin{equation}
\label{eq-phi}
\frac{d^2\phi}{dt^2}+\frac{g}{l}\cdot{}sin\,\phi=0
\end{equation}
Для \textit{малых углов} можно считать $sin\,\phi=\phi$. Тогда уравнение (\ref{eq-phi}) будет уравнением гармонического осциллятора, решение которого имеет вид
\begin{equation}
\label{eq-garm}
\phi=\phi_0\,sin\,(\omega{}t+\alpha),
\end{equation}
Где $\phi_0$ -- амплитуда колебаний, $\alpha$ -- начальная фаза, $\omega=\sqrt{\frac{g}{l}}$ -- частота колебаний. Из соотношения $T=\frac{2\pi}{\omega}$ следует
\begin{equation}
\label{g_lt}
T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}
\end{equation}
Из (\ref{g_lt}) можно выразить ускорение свободного падения (\ref{gg}):
\begin{equation}
\label{gg}
g=4\pi^2\frac{l}{T^2}
\end{equation}
Но так как $l$ напрямую замерить сложно (от точки подвеса до центра тяжести груза), необходимо проводить несколько опытов с разными высотами, чтобы избавиться от необходимости точного измерения длины нити и перейти к измерению \textbf{разности} длин, которую можно замерить гораздо более точно(\ref{gtt}). При измерении разности можно брать любые (одинаковые относительно шарика) длины нити. Удобно взять наинизшую точку груза (шарика). Обозначим такие длины $h_2$ и $h_1$.
\begin{equation}
\label{gtt}
T_1^2=4\pi^2\frac{l_1}{g},\ \ T_2^2=4\pi^2\frac{l_2}{g},\ \ \Rightarrow g=4\pi^2\frac{h_2-h_1}{T_2^2-T_1^2},\text{ где } T=\frac{t}{n}
\end{equation}
\subsection{Величина малых углов}
В описании физического смысла лабораторной работы была сделана оговорка о малых углах $\phi$.
Стоит отметить, что градусная шкала проградуирована в градусах, с ценой деления 1 градус. Таким образом, погрешность задания угла отклонения $\Delta\,\phi$ можно считать равной половине цены деления -- $\Delta\,\phi\approx0.0087\,\text{рад}$.
Тогда необходимо решить уравнение
\begin{equation}
\label{sin}
sin\,\phi_0=\phi_0-\Delta\,\phi
\end{equation}
Решением (\ref{sin}) является $\phi_0\approx0.34\,\text{рад}\approx20^{\circ}$. Для $\phi\le\phi_0$ будет выполняться формула гармонического осциллятора (\ref{eq-garm}), а значит и формулы периода колебаний математического маятника (\ref{g_lt}), и все выведенные из (\ref{g_lt}) формулы (\ref{gg}, \ref{gtt}, \ldots)
Такое утверждение можно проверить экспериментально. Найдем зависимость $T(\phi)$ для разных углов отклонения, при одинаковом количестве колебаний и высоте нити маятника.
\begin{table}[h]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$n$ & $\phi$, ${\,}^{\circ}$ & $5^{\circ}\pm0.5^{\circ}$ & $10^{\circ}\pm0.5^{\circ}$ & $15^{\circ}\pm0.5^{\circ}$ & $20^{\circ}\pm0.5^{\circ}$ & $40^{\circ}\pm0.5^{\circ}$ \\
\hline
20 & \text{$t$, c}&43$\pm$0.2 \text{с} & 43.4$\pm$0.2 \text{с}&44.6$\pm$0.2 \text{с}&43.8$\pm$0.2 \text{с}&48$\pm$0.2 \text{с}\\
& $T_1=\frac{t}{n}$, с & 8.6$\pm$0.2 \text{с} & 4.3$\pm$0.2 \text{с} &2.97$\pm$0.2 \text{с} &2.19$\pm$0.2 \text{с} &2.4$\pm$0.2 \text{с} \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{\label{tab:t-phi}Зависимость периода математического маятника от угла отклонения, $T(\phi)$}
\end{table}
Полученные результаты нанесем на график с учетом погрешностей измерения времени и углов (см. рис.\ \ref{fig1}). Легко заметить,что при $\phi>5^{\circ}$ значение периода сильно уменьшается --- это означает, что применение формулы математического маятника (и всех из неё выведенных) на данных углах невозможно, так как предполагает период константой. График сужает утверждение $T=const$ на углы $\phi<\phi_0, \phi_0=5^{\circ}$
\newpage
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\includegraphics*[width=1\textwidth]{img/phi_2.png}
\caption{\label{fig1}График зависимости $T(\phi)$}
\end{center}
\end{figure}
\subsection{Определение ускорения свободного падения ${g}$}
% Определение минимального количества колебаний маятника, при котором относительная погрешность вычисления ${g}$ меньше 1\%
Непосредственно замерить однократный период колебаний маятника точно достаточно сложно. Можно замерить $n$ полных колебаний маятника и их время: тогда можно ввести формулу
\begin{equation}
\label{Ttn}
T=\frac{t}{n}
\end{equation}
Рассчитаем, для какого количества $n$ колебаний маятника $\varepsilon\,(g)\le1\%$. Для этого выведем формулу относительной погрешности $\varepsilon\,(g)$, где позже выразим $n$ из формулы (\ref{Ttn}):
\begin{eqnarray}
\label{n-rash}
\varepsilon\,(g)=\varepsilon({4\pi^2\frac{h_2-h_1}{t_2^2-t_1^2}})=\varepsilon({\frac{h_2-h_1}{t_2^2-t_1^2}})=\frac{\Delta(h_2-h_1)}{h_2-h_1}+\frac{\Delta(t_2^2-t_1^2)}{t_2^2-t_1^2}=\\\nonumber=\frac{2\Delta{h}}{h_2-h_1}+\frac{2\Delta{t}(t_2+t_1)}{(t_2-t_1)(t_2+t_1)}=\frac{2\Delta{h}}{h_2-h_1}+\frac{2\Delta{t}}{t_2-t_1}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\label{n-rash2}
\varepsilon=\frac{2\Delta{h}}{h_2-h_1}+\frac{2\Delta{t}}{n\cdot(T_2-T_1)}\Longrightarrow
\frac{(\varepsilon-\frac{2\Delta{h}}{h_2-h_1})\cdot(T_2-T_1)}{2\Delta{t}}=\frac{1}{n}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\label{n-rash3}
n_\text{расчетное}=\frac{2\Delta{t}}{(T_2-T_1)(0.01-\frac{2\Delta{H}}{h_2-h_1})}
\end{eqnarray}
Подставим в формулу (\ref{n-rash3}) экспериментальные значения $T_2$, $T_1$ при 3 экспериментах с разными высотами
$h_2$ и $h_1$.
\begin{table}[h]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{№} & $n$ & $h_1$, \text{см} & $t_1$, \text{с} & $T_1$, \text{с} & $h_2$, \text{см} & $t_2$, \text{с} & $T_2$, \text{с} \\
\hline
$1$ & $20$ & $3\pm0.1\text{см}$ & $6.9\pm0.2\text{с}$ & $0.35\pm0.2\text{с}$ & $95\pm0.1\text{см}$ & $39.2\pm0.2\text{с}$ & $1.9\pm0.2\text{с}$ \\
\hline
$2$ & $20$ & $3\pm0.1\text{см}$ & $8.7\pm0.2\text{с}$ & $0.44\pm0.2\text{с}$ & $115\pm0.1\text{см}$ & $42.3\pm0.2\text{с}$ & $2.2\pm0.2\text{с}$ \\
\hline
$3$ & $20$ & $3\pm0.1\text{см}$ & $10.5\pm0.2\text{с}$ & $0.52\pm0.2\text{с}$ & $125\pm0.1\text{см}$ & $45.0\pm0.2\text{с}$ & $2.3\pm0.2\text{с}$ \\
\hline
% \multicolumn{2}{|c|}{Результаты измерений} \\
\end{tabular}
\end{center}
% \caption{\label{tab:t-pogr}}%Измерения для подстановки в формулу погрешностей и вычисления $n_\text{расчетное}=\frac{2\Delta{t}}{(T_2-T_1)(0.01-\frac{2\Delta{H}}{h_2-h_1})}$ (\ref{n-rash})}
\end{table}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
\text{№} & Значение $n_\text{расчетное}$ \\
\hline
$1$ & $n_\text{расчетное}=\frac{2\cdot{0.2}}{(1.9-0.35)(0.01-\frac{2\cdot{0.1}}{95-3})}\approx{}31$ \\ \hline
$2$ & $n_\text{расчетное}=\frac{2\cdot{0.2}}{(2.2-0.44)(0.01-\frac{2\cdot{0.1}}{115-3})}\approx{}28$ \\ \hline
$3$ & $n_\text{расчетное}=\frac{2\cdot{0.2}}{(2.3-0.52)(0.01-\frac{2\cdot{0.1}}{125-3})}\approx{}27$ \\ \hline
% \multicolumn{2}{|c|}{Результаты измерений} \\
\end{tabular}
\end{center}
При вычисленных значениях необходимого числа $n$ замеряемых колебаний математического маятника относительная погрешность ${g}$, вычисленного по формуле (\ref{g}), не будет превышать 1\%.
\begin{equation}
\label{g}
g=4\pi^2\frac{h_2-h_1}{T_2^2-T_1^2}
\end{equation}
\newpage
Проведем ряд опытов с учетом вышеуказанных измерений и вычислений, рассчитав погрешность измерения ${g}$ по формуле (\ref{n-rash}).
\begin{table}[h]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{№ опыта} & 1 & 2 & 3\\
\hline
n & 20 & 25 & 30 \\
\hline
$h_1$, см & 3\ddh&3\ddh&3\ddh \\
\hline
$t_1$, с & 6.94\ddt & 8.65\ddt & 10.45\ddt \\
\hline
$T_1=\frac{t_1}{n}$, с & 0.35\ddt & 0.35\ddt & 0.35\ddt \\
\hline
$h_2$, см & 95\ddh&115\ddh&125\ddh \\
\hline
$t_2$, с & 38.97\ddt & 53.86\ddt & 67.11\ddt \\
\hline
$T_2=\frac{t_1}{n}$, с & 1.95\ddt & 2.15\ddt & 2.24\ddt \\
\hline
$h_2-h_1$, см & 92\ddh&112\ddh&122\ddh \\
\hline
$T_2^2-T_1^2$, $c^2$ & 3.7\ddtv & 4.5\ddtv & 4.9\ddtv \\
\hline
$g$, $\text{см}/c^2$ & $987.74\pm1.4\%$ & $977.66\pm1.2\%$ & $986.41\pm1\%$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}
Рассчитаем среднее значение $g_\text{ср}$, также пересчитав его погрешность.
\begin{eqnarray*}
\delta{g_\text{ср}}=\frac{\Delta{g_1}+\Delta{g_2}+\Delta{g_3}}{g_1+g_2+g_3}=
\frac{\varepsilon{g_1}\cdot{g_1}+\varepsilon{g_2}\cdot{g_2}+\varepsilon{g_3}\cdot{g_3}}{g_1+g_2+g_3}=\\
\\
=\frac{0.014\cdot987.74+0.012\cdot977.66+0.01\cdot986.41}{987.74+977.66+986.41}=0.012000=1.2\%
\end{eqnarray*}
\begin{equation}
g_\text{ср} = \frac{987.74+977.66+986.41}{3}\ \pm\ 1.2\%=983.941\ \pm\ 1.2\%
\end{equation}
\subsection{Вывод}
Проведенная лабораторная работа позволила определить ускорение свободного падения -
$983.941\ \text{cм/с}^2$ с относительной погрешностью $\delta{g}=1.2\%$ при измерении с помощью математического маятника.
Результат $983.941\ \text{cм/с}^2$ отклоняется от табличного значения $980\ \text{cм/с}^2$ на 0.33\% --- измерен с высокой точностью.
Также в работе была определена величина малых углов, при которых в эксперименте выполняется формула Гюйгенса -- математического маятника.
В работе рассчитаны погрешности для всех косвенных измерений.
\subsection{Ответы на вопросы}
\subsubsection{Вопрос 1}
\textbf{При определении периода пускать в ход и останавливать секундомер можно: а) когда маятник имеет наибольшее отклонение; б) когда он проходит положение равновесия. В каком случае измерение точнее?}
\\
Измерение будет более точным в случае пуска и остановки секундомера при наибольшем отклонении. Объяснить это можно следующим образом.
Запишем уравнение гармонического осциллятора (\ref{eq-garm}, \ref{eq-garm2})
\begin{equation}
\label{eq-garm2}
\phi=\phi_0\,sin\,(\omega{}t+\alpha)
\end{equation}
И продифференцируем его (\ref{eq:w-garm}). Производная $\dot{\phi}$ есть угловая скорость по определению.
\begin{equation}
\label{eq:w-garm}
\dot{\phi}=\phi_0\,\omega\,cos\,(\omega{}t+\alpha)
\end{equation}
Из начальных условий ($\phi(t=0)=0$) найдем $\alpha=\frac{\pi}{2}$. Отметим, что $|\phi_0|\ll\pi$.
Тогда ясно, что максимальная скорость будет при максимальном значении $cos\,(\omega{}t+\alpha)=1\ \Longrightarrow\ \omega{}t+\alpha=\pi$, то есть при $t_{v_{max}}=\frac{\pi}{2\omega}$. Отметим, что подставив в (\ref{eq-garm2}) $t_{v_{max}}$, мы получим значение $\phi$ в этот момент, равное 0.
Следовательно, в положении равновесия угловая (а значит, и линейная) скорость максимальна, а в положениях максимального отклонения она равна 0.
Тогда можно сказать, что в районе максимального отклонения за время $\Delta\,t$ срабатывания секундомера маятник пройдет гораздо меньший путь, чем в положении равновесия, а значит и ошибка измерения времени полного колебания будет меньше.
\subsubsection{Вопрос 2}
\textbf{$g$ можно определить, измерив время свободного падения и измерив период колебаний маятника. Какой метод даст результат точнее, если пользоваться одним секундомером в обоих случаях?}
\\
Изучим относительную погрешность определения ${g}$ методом измерения времени падения груза. Ускорение рассчитывается по формуле
\begin{equation}
g=\frac{2H}{t^2}
\end{equation}
Относительная погрешность измерения будет равна
\begin{equation}
\varepsilon\,(g)=\frac{\Delta\,h}{H}+\frac{2\Delta\,t}{t^2}
\end{equation}
Выразим из известного значения $g=981\frac{\text{см}}{\text{с}^2}$ высоту как функцию времени:
\begin{equation}
t^2=\frac{2H}{g}
\end{equation}
Тогда можно посчитать, при какой высоте относительная погрешность не превышает 1.2\%
\begin{eqnarray}
\label{e:g}
\varepsilon\,(g)\le\frac{\Delta\,h}{H}+\frac{2\Delta\,t\cdot{}g}{2H}\\
0.01\le\frac{0.1}{H}+\frac{0.4\cdot981}{2H}\\
H\ge\frac{0.1+0.2\cdot981}{0.01}\\
H\ge19630\text{ см}\approx196\text{ м}
\end{eqnarray}
Из (\ref{e:g}) естественно следует, что погрешность обратно пропорциональна пути свободного падения груза. При $h\le196\text{ м}$ погрешность будет превышать $1.2\%$, таким образом, при сопоставимых длине нити математического маятника (в лабораторных условиях меньше 2 метров) и пути свободного падения груза (при одинаковых погрешностях измерения высоты и времени) точность метода математического маятника будет намного выше.
\subsubsection{Вопрос 3}
\textbf{В каких точках земной поверхности $g$ максимально, в каких минимально и почему?}
\\
% На Земле ускорение свободного падения складывается из
Земля --- эллипсоид вращения, т. е. радиус Земли на полюсе меньше радиуса Земли на экваторе. Ускорение свободного падения рассчитывается по формуле (\ref{g-grav})
\begin{equation}
\label{g-grav}
g=G\cdot\frac{M}{(R+h)^2},
\end{equation}
где $M$ -- масса земли, $R$ -- радиус земли, $h$ -- высота над поверхностью земли.
Отсюда ускорение свободного падения на полюсе больше, чем на экваторе ($g = \text{983 см/с}^2$ на полюсе и $g = \text{978 см/с}^2$ на экваторе).
Кроме того, (\ref{g-grav}) верна при условии изоморфности Земли. В реальности существуют гравитационные аномалии, связанные с неоднородностью её строения, что может быть использовано для поиска полезных ископаемых (гравиразведка).
\subsubsection{Вопрос 4}
\textbf{Чему равно $g$ в центре Земли?}
\\
В центре земли формула (\ref{g-grav}) неприменима. Представим земной шар как сумму тонкостенных сфер (всего $i$ сфер): так как гравитационное поле аддитивно, то ускорение свободного падения в центре тонкостенной сферы будет интегралом по объему сферы.
Попробуем эмпирически представить значение такого интеграла. Разобьем тонкостенную сферу радиуса $R_i$ на маленькие кусочки объема $\Delta{}V$ (следовательно, массы $\Delta{}M$). Тогда относительно центра сферы для каждого такого кусочка найдётся противоположный, лежащий на одном диаметре с данным: то есть для такого диполя можно посчитать $\Delta{}g$
\begin{equation}
\Delta{}g=+G\cdot\frac{\Delta{}M}{(R_i)^2}-G\cdot\frac{\Delta{}M}{(R_i)^2}=0
\end{equation}
Вся сфера есть сумма всех таких диполей, то $g_i=\sum\Delta\,g=0$. Из аддитивности гравитационного поля следует, что суммарное $g$ есть сумма $g_i$ каждой сферы:
\begin{equation}
g=\sum\limits_{1}^{i}g_i=0
\end{equation}
Нашли ${g}$ в центре Земли равным нулю.
\subsubsection{Вопрос 5}
\textbf{На какую высоту над Землей нужно подняться, чтобы с помощью приборов, которыми вы пользовались, можно было заметить изменение $g$?}
\\
При подъеме над поверхностью Земли можно применить формулу (\ref{g-grav}). Для того, чтобы заметить с помощью лабораторного математического маятника изменение $g$, необходимо, чтобы это изменение было больше погрешности измерения (которое нашли равным $1.2\%$)
\begin{eqnarray*}
g_0-g_h\ge\varepsilon\,(g)g_0\\
1-\frac{g_h}{g_0}\ge0.012\\
1-\frac{G\cdot\frac{M}{(R+H)^2}}{G\cdot\frac{M}{R^2}}\ge0.012\\
1-\frac{R^2}{(R+H)^2}\ge0.012
% \frac{g_{h=x}}{g_{h=0}}\ge\frac{G\cdot\frac{M}{(R+x)^2}}{G\cdot\frac{M}{R^2}}=
% \frac{R^2}{(R+x)^2}
\end{eqnarray*}
Положительным решением данного уравнения (вспомним, что требуется найти высоту \textbf{над} Землёй) будет
\begin{eqnarray*}
H=38.5\text{ км }
\end{eqnarray*}
На высоте $H=38.5$ км замеренное с помощью лабораторного математического маятника ускорение свободного падения будет меньше, чем значение ${g} \pm 1.2\%$ на Земле, следовательно, можно будет сделать вывод о уменьшении ускорения свободного падения (падении напряжённости гравитационного поля).
\end{document}