md.md

Средняя линия треугольника

Определение {#определение}

Средней линией треуголника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон

Свойство средней линии {#свойство}

Средняя линия треугольника параллельна 3й стороне и ее длина равна половине длины 3й стороны

Доказательство

Сделаем следующее дополнительное построение, удвоим среднюю линию

△MNC = △KNB по 2м сторонам и углу между ними, следовательно $\angle CMN = \angle BNK$. AM и BK равны и паралелльны, значит AMBK - параллелограмм, а его стороны параллельны. Но тогда еще |MK| = |AB|, а поскольку MK - это удвоенная средняя линия, то одна средняя линия равна $\frac{AB}{2}$

Признак средней линии {#признак}

Если в треугольнике отрезок, соединяющий середину одной стороны с точкой на другой, параллелен 3й, то он является средней линией

Предположим, что MK не средняя линия, тогда проведем среднюю линию MN. Она будет параллельна основанию по свойству. Но MK тоже параллелен основанию. Из одной точки можно провести только 1 прямую, параллельную данной, значит мы пришли к противоречию