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Simulationen zu den Kepler'schen Gesetze

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Inhalt

• Ziel
• Modell
• Nutzung
• Dateien
• Kepler'sche Gesetze
• Quellen
• Website: https://ballandt.github.io/p/PhyKep

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Ziel der Simulation

Die Programme zeigen grafisch den Zusammenhang zwischen dem Newton'schen Gravitationsgesetz und den Kepler'schen Gesetzen. Dargestellt wird die Bewegung der Erde um die Sonne durch eine matplotlib-Animation. Ein Erdkreis bewegt sich dabei zur simulierten Zeit um die Sonne.

Dabei soll die erste Simulation die sich einstellende Kreis- bzw. Ellipsenform des Erdorbits zeigen. Die zweite Simulation demonstriert die Gültigkeit des zweiten Kepler'schen Gesetzes in dem die überzogenen Flächen berechnet werden.

Mathematisches Modell

Das Programm simuliert ein Zweikörpersystem Erde-Sonne bei dem lediglich die Erdbewegung betrachtet wird. Die Berechnung der Erdposition erfolgt durch Linearisierung der Bewegung mit der folgende Gleichungen entstehen

F = G · ^{m₁ m₂} / _d³ · d

a = ^F/_m

v = a · Δt

d = v · Δt

_{(Fett geschriebene Formelzeichen stellen vektorielle Größen dar.)}

⚠️Die Genauigkeit der Simulation verschlechtert sich bei sehr ausgeprägter Ellipsenform und hohen Geschwindigkeiten bei großer Richtungsänderung.

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Nutzung der Simulation

Pythonumgebung

Für die Ausführung der Simulation muss auf dem System eine Python3-Umgebung installiert sein. Für fortgeschrittene Pythonnutzer ist die Conda mit dem für den Release beschriebenen Environment zu empfehlen. Für Anfänger ist eine Installation des Pythoninterpreters ausreichend. In diesem Fall müssen die benötigten Packages

• numpy
• shapely
• matplotlib

über den Paketmanager der IDE oder den Python-Paketmanager mit pip install hinzugefügt werden.

Ausführung

Mit der eingerichteten Umgebung können die Dateien einfach über die IDE oder mit dem Kommandozeilenbefehl

python gravitation_newton.py
python kepler_2.py

ausgeführt werden.

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Enthaltene Dateien

1. gravitation_newton.py
   1. Nachweis Kepler I
   2. Bewegungsberechnung als Grundlage für 2.
2. kepler_2.py
   1. Nachweis Kepler 2
   2. Flächen konstant
   3. Schneller in Sonnennähe
   4. Gravitationsmodell von 1. übernehmen

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Kepler'sche Gesetze

Kepler I

Alle Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen. In einem der Brennpunkte steht die Sonne

Kepler II

Der Quotient aus der vom Leitstrahl Sonne - Planet überstrichenen Fläche und der dazu erforderlichen Zeit ist konstant.

Kepler III

Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen ihrer Bahnen

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Quellen

• https://nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/earthfact.html
  • Entfernung Erde - Sonne
  • Geschwindigkeit Erde
• Oliver Natt. Physik mit Python. Springer Spektrum. 2020
  • Grundlagen Simulation und Animation mit Python