深入洞察OpenCV鱼眼模型之成像投影和畸变表估计系数相互转化

本Repo实现了从原理公式上直接使用来自OpenCV鱼眼畸变模型的4个系数 $k_1 ,k_2 ,k_3 ,k_4$ 和内参 $K$ 对图像进行去畸变以及来自厂商提供的镜头畸变表与OpenCV鱼眼模型参数的估计互相转换。另外对OpenCV鱼眼模型的成像原理过程(透视投影像高vs畸变像高)进行了绘图分析，便于从视觉上直观感受，从而加深对OpenCV鱼眼镜头模型投影成像的理解。关于pin-hole透视镜头成像标定过程可以参阅我之前的Repo，C++代码请参阅我这个Repo。

Table of contents

• Overview of Distortion Table
• Overview of OpenCV fisheye Camera Model
  • 注意误点
  • 总结几点
• 直接根据畸变表对图像去畸变
• 畸变表拟合系数对图像去畸变
• 畸变系数推算畸变表
• References

Overview of Distortion Table

来自鱼眼镜头厂商的畸变表一般为下述形式表格，其描述了光线通过透镜在相机传感器平面成像的高度信息，一般至少含有3列数据，比如下面表格有“Angle”(degrees),"Real Height"(mm),"Ref Height"(mm)等。其分别表示光线入射角(光线与摄像机光轴的夹角)，实际成像高度，参考成像高度(透视投影)，这些信息足以表征此镜头的畸变扭曲程度。另外还会提供一些常量,如每个像素长度为0.003mm，图像尺寸1920×1080，畸变中心位于图像中心，进一步地，结合畸变表，可以推算相机内参矩阵 $K$ 。

上述表格中第1列和第3列通常满足 $\textrm{RefH}=f*\tan \left(\theta \right)$ , $\theta$ 对应第一列，一般从0°到90°之间，$\textrm{RefH}$ 为第三列，从此式可以推算出焦距 $f$ 。

本Repo中所使用的畸变表格数据和此镜头录制的图像畸变数据在当前“data”文件夹下的“distortionTableFromFactory.xlsx”，“distortionImageN.png”。

Overview of OpenCV fisheye Camera Model

关于Fish-Eye其实有多种投影模型，具体参考文献6，典型有equidistance，equisolid angle，orthogonal projection等，根据OpenCV实现，其依据的论文是一种通用模型，不依赖某个具体的类型，取9阶系数就足以满足绝大多数镜头畸变模型。在此，也不再叙述过程，本文重点在下述原理理解和代码实践上！

根据此处OpenCV官方文档此处链接，导航到“Detailed Description”部分，要完全弄清楚其原理，其描述过程仍然令人有些费解，没有像MATLAB官方文档描述的清楚，一目了然。即使结合第三方大量博客(CSDN,知乎等，见文后References)，也未必能阐述清楚。故结合OpenCV源码和论文“a generic camera model and calibration method for conventional-wide-angle and fisheye lenses”，再经过本Repo实践，我画出下面的成像原理图，符号和公式严格表达准确，代码运行可靠!

简单阐述下上述我绘制的图中的主要符号，坐标系 $X_c O_1 Y_c$ 为相机物理坐标系，蓝色平面 $\pi_1$ 为归一化成像平面(离光心 $O_1$ 的距离为1)，橙色平面 $\pi_2$ 为实际成像平面(离光心 $O_1$ 的距离为焦距 $f$ )，点 $P$ 为坐标系 $X_c O_1 Y_c$ 下的一外点，光线通过红色虚线射入，从绿色虚线“折射”到成像平面“引起畸变”；点 $p^{\prime }$ , $N$ 分别为平面 $\pi_2$ ，$\pi_1$ 理想透视投影点，点 $p$ , $M$ 分别为平面 $\pi_2$ ， $\pi_1$ 实际投影畸变点。另外位于平面 $\pi_1$ 的 $\left|O_2 M\right|=r_d$ ， $\left|O_2 N\right|=r$ ，而不是平面 $\pi_2$ 中的 $\left\|O_3 p\right\|\not= r_d$ ，$\left\|O_3 p^{\prime } \right\|\not= r$ ,这在OpenCV文档中并没有解释清楚。

点 $P\left(x_c ,y_c ,z_c \right)$ 透视投影经归一化为平面 $\pi_1$ 中的点 $N\left(x_n ,y_n \right)$ ,

$$ x_n =\frac{x_c }{z_c },y_n =\frac{y_c }{z_c } $$

$$ r^2 =x_n^2 +y_n^2 $$

$$ \theta =\textrm{atan}\left(r\right) $$

畸变像高：

$$ r_d =\theta \left(1+{k_1 \theta }^2 +k_2 \theta^4 +k_3 \theta^6 +{k_4 \theta }^8 \right) $$

同时， $\bigtriangleup O_1 O_2 M$ 为直角三角形，满足，

$$ r_d =1*\tan \left(\theta_d \right) $$

注意上述式子中的 $r_d$ 并非OpenCV文档中写的 $\theta_d$ ，然后计算比例因子scale,

$$ \textrm{scale}=\frac{r_d }{r} $$

又因 $\bigtriangleup O_1 O_2 N\sim \bigtriangleup O_1 O_3 p^{\prime }$ , $\bigtriangleup O_1 O_2 M\sim \bigtriangleup O_1 O_3 p$ ,

则 $$\textrm{scale}=\frac{r_d }{r}=\frac{\left|O_3 p\right|}{\left|O_3 p^{\prime } \right|}$$

为了得到点 $p$ 的畸变坐标 $\left(x_d ,y_d \right)$ ,有，

$$ x_d =\textrm{scale}*a $$

$$ y_d =\textrm{scale}*b $$

设点 $O_3$ 在像素平面 $\textrm{uv}$ 下的坐标为 $\left(U_0 ,V_0 \right)$ ,在 $x$ 轴， $y$ 轴单位长度上的像素数为 $f_x ,f_y$ ,则像素坐标为，

$$ u=f_x *x_d +U_0 $$

$$ v=f_y *y_d +V_0 $$

如果考虑错切因子 $\alpha$ ,则上式 $\left.u=f_x *{\left(x\right.}_d +{\alpha y}_d \right)+U_0$ ，此时内参矩阵 $K$ 即为，

$$ K=\left\lbrack \begin{array}{ccc} f_x & \alpha & U_0 \\ 0 & f_y & V_0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right\rbrack $$

注意上述步骤其实是图像去畸变的工作过程，先一一找到无畸变点对应的畸变点坐标映射，合适时候再通过插值找到对应的像素点。

如果是某个点的去畸变，则需要逆向求解上述过程，其中有已知 $\theta_d$ ，求 $\theta$ ，这就很多方法了，不在此描述。

注意误点

• $r_d$ ， $r$ 的计算分析均指在归一化平面 $\pi_1$ 上进行的，而不是实际成像平面 $\pi_2$ 。OpenCV文档中写的是 $\theta_d =\theta \left(1+{k_1 \theta }^2 +k_2 \theta^4 +k_3 \theta^6 +{k_4 \theta }^8 \right)$ 不准确的，并非上述公式中的 $\theta_d$ ，这是因为OpenCV源码变量中把 $r_d$ 中间临时变量写成了 $\theta_d$ ，而文档是根据代码自动生成的，这就导致了描述不够准确，但内部计算逻辑是正确的， $\theta$ 和 $\theta_d$ 单位为弧度，非度数。
• 参考文献4描述“畸变与焦距无关”是不完全正确的，这在归一化成像平面 $\pi_1$ 上成立，因为有 $r_d =1*\tan \left(\theta_d \right)$ ，但在实际成像平面上 $\pi_2$ 上不成立，因为 $\left|O_3 p\right|=f*\tan \left(\theta_d \right)$ , $\theta_d$ 一定的情况下，与焦距 $f$ 成正比的。
• 参考文献4把平面 $\pi_1$ 和平面 $\pi_2$ 混为一团，后果是牵强认为 $r_d =1*\tan \left(\theta_d \right)=\theta_d$ ，为了说服其成立，认为“ $\theta_d$ 趋于0， $r_d$ 就等于 $\theta_d$ ，但这里根本就没有趋向于0的说法。

总结几点

• 归一化平面 $\pi_1$ 存在的目的是为了求取尺度scale，然后根据三角形相似原理转嫁到实际成像平面 $\pi_2$ 做去畸变计算。
• 焦距不会影响畸变形状（或外观），影响的是尺度变化，但尺度变化百分比保持不变。
• 4个畸变系数 $k_1 ,k_2 ,k_3 ,k_4$ 影响畸变形状（或外观），也会影响尺度大小。
• 内参矩阵 $K$ 是相机物理坐标与像平面像素坐标互相转换的“过渡矩阵”，决定着畸变中心位置坐标和坐标系转换的功能。

为了利用畸变表提供的数据对畸变图像进行去畸变，通常有下面2种方式：

---
title: 利用畸变表对图像去畸变流程
---
flowchart LR
    A[畸变表]-- 直接利用像高比例 ----->C[去畸变图]
    A-- "OpenCV鱼眼模型"-->D["拟合畸变系数(k1~k4)"]--->C

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下面对上述2种方式分别进行实现。

直接根据畸变表对图像去畸变

主要利用畸变表中像高比例进行查表(一维插值)进行畸变量计算，算法步骤为：

1. 根据畸变表估算内参矩阵 $K$ 和人为指定无畸变图大小；
2. 利用内参矩阵 $K$ 对某个无畸变图像素坐标 $\left(u,v\right)$ 转为像平面 $\pi_2$ 的物理坐标 $\left(x,y\right)$ ；
3. 计算物理坐标 $\left(x,y\right)$ 离原点的距离为RefH；
4. 计算入射角 $\theta$ ，然后查表得到畸变像高距离 $r_d$ ,直接根据比例计算物理畸变点坐标 $\left(x_d ,y_d \right)$ ；
5. 再次利用内参矩阵 $K$ 将物理畸变点坐标 $\left(x_d ,y_d \right)$ 转为像素坐标 $\left(u_d ,v_d \right)$ ；
6. 对所有无畸变图上的点重复step2-5找到像素坐标映射关系 $\left(u,v\right)\to \left(u_d ,v_d \right)$ ,最后图像插值即可完成去畸变。

读取畸变视频/图像源

distortFrame = imread("data/distortionImage1.png");
figure;imshow(distortFrame);
title("distortion image")

distortionTablePath = "./data/distortionTable.xlsx";
sensorRatio = 0.003;% 由厂家提供，单位 mm/pixel

cameraData = readtable(distortionTablePath,Range="A4:D804",VariableNamingRule="preserve");
head(cameraData)% 预览前面若干行数据

    Y Angle (deg)    Real Height    Ref. Height    Distortion(f-tanθ)
    _____________    ___________    ___________    ___________________
         0.1          0.0050939      0.005103          -0.00011259    
         0.2           0.010188      0.010207          -0.00048478    
         0.3           0.015282       0.01531           -0.0011181    
         0.4           0.020376      0.020414           -0.0020122    
         0.5           0.025469      0.025518           -0.0031675    
         0.6           0.030563      0.030622           -0.0045836    
         0.7           0.035657      0.035726           -0.0062606    
         0.8           0.040751       0.04083           -0.0081985    

第一列为入射角，第二列为实际畸变量长度,单位：mm，第三列为理想参考投影长度，单位：mm.

angleIn = cameraData{:,1};% 入射角
focal = mean(cameraData{:,3}./tand(angleIn));% 焦距，单位:mm
angleOut = atan2d(cameraData{:,2},focal);% 出射角
cameraDataIn = table(angleIn,angleOut,VariableNames = ["angle","angle_d"]);
[h,w,~] = size(distortFrame);

K = [focal/sensorRatio,0,w/2;
    0,focal/sensorRatio,h/2;
    0,0,1];
undistortImg  = undistortFisheyeImgFromTable(distortFrame,K,cameraDataIn,OutputView="same");
figure;
imshow(undistortImg);
title("undistortion image from distortion table directly")

畸变表拟合系数对图像去畸变

先对畸变表中的像高按照归一化平面 $\pi_1$ 进行像高的转换，然后根据畸变公式进行系数拟合，最后根据比例进行查表(一维插值)进行畸变量计算，算法步骤为：

1. 根据畸变表数据(实际焦距 $f$ 下的像高)换算为归一化平面 $\pi_1$ 的像高；
2. 按照畸变公式进行系数拟合得到 $k_1 ~k_4$ ,同时估算内参矩阵 $K$ 和人为指定无畸变图大小;
3. 利用内参矩阵 $K$ 对某个无畸变图像素坐标 $\left(u,v\right)$ 转为像平面 $\pi_1$ 的物理坐标 $\left(x,y\right)$ ；
4. 计算物理坐标 $\left(x,y\right)$ 离原点的距离为RefH；
5. 计算入射角 $\theta$ ，然后根据畸变公式得到畸变像高距离 $r_d$ ,随后根据比例计算物理畸变点坐标 $\left(x_d ,y_d \right)$ ；
6. 再次利用内参矩阵 $K$ 将物理畸变点坐标 $\left(x_d ,y_d \right)$ 转为像素坐标 $\left(u_d ,v_d \right)$ ；
7. 对所有无畸变图上的点重复step2-5找到像素坐标映射关系 $\left(u,v\right)\to \left(u_d ,v_d \right)$ ,最后图像插值即可完成去畸变。

r_d = 1./focal*cameraData{:,2};% 求归一化平面上的r_d
thetaRadian = deg2rad(angleIn);% 度数转为弧度

由前面分析的畸变像高公式，对归一化平面 $\pi_1$ 上每一个入射角 $\theta \left(\theta_1 ,\theta_2 ,\cdots ,\theta_n \right)$ ，有下述等式成立，

$$ \left\lbrace \begin{array}{l} \theta_1 +k_1 \theta_1^3 +k_2 \theta_1^5 +k_3 \theta_1^7 +k_4 \theta_1^9 =r_{\textrm{d1}} \\ \theta_2 +k_1 \theta_2^3 +k_2 \theta_2^5 +k_3 \theta_2^7 +k_4 \theta_2^9 =r_{\textrm{d2}} \\ \vdots \\ \theta_n +k_1 \theta_n^3 +k_2 \theta_n^5 +k_3 \theta_n^7 +k_4 \theta_n^9 =r_{\textrm{dn}} \end{array}\right. $$

写为矩阵形式，为，

$$ \left\lbrack \begin{array}{cccc} \theta_1^3 & \theta_1^5 & \theta_1^7 & \theta_1^9 \\ \theta_2^3 & \theta_2^5 & \theta_2^7 & \theta_2^9 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \theta_n^3 & \theta_n^5 & \theta_n^7 & \theta_n^9 \end{array}\right\rbrack *\left\lbrack \begin{array}{c} k_1 \\ k_2 \\ k_3 \\ k_4 \end{array}\right\rbrack =\left\lbrack \begin{array}{c} r_{\textrm{d1}} -\theta_1 \\ r_{\textrm{d2}} -\theta_2 \\ \vdots \\ r_{\textrm{dn}} -\theta_n \end{array}\right\rbrack $$

典型为 $A*x=b$ ,最小二乘解为 $x=A\backslash b$ .

A = [thetaRadian.^3,thetaRadian.^5,thetaRadian.^7,thetaRadian.^9];
b = r_d-thetaRadian;
opencvCoeffs = A\b;
disp("最小二乘拟合OpenCV鱼眼模型畸变系数为(k1~k4)："+strjoin(string(opencvCoeffs'),","))

最小二乘拟合OpenCV鱼眼模型畸变系数为(k1~k4)：-0.10493,0.015032,-0.013603,0.0030601

newCameraMatrixK = K;
newImageSize = size(distortFrame,[1,2]);% [height,width]
[mapX,mapY] = initUndistortRectifyMapOpenCV(K, opencvCoeffs,newCameraMatrixK,newImageSize);

mapX,mapY即为映射 $\left(u,v\right)\to \left(u_d ,v_d \right)$ 的关系坐标。

undistortImg2 = images.internal.interp2d(distortFrame,mapX,mapY,"linear",255, false);
figure;
imshow(undistortImg2)
title("undistortion image from fit opencv fisheye model coefficient")

可以看出两种方法效果图一致，主要区别就是尺度scale计算方式不同，一个是直接查表得到scale，另一个是拟合公式求scale，没有明显的本质区别。

畸变系数推算畸变表

有时厂商提供了镜头畸变表，并且我们也通过OpenCV标定了该镜头得到内参矩阵 $K$ 和畸变系数 $k_1-k_4$ ，但我们更想验证我们的标定算法与厂商提供的畸变表“差距”有多大，那也可以通过畸变系数推算畸变表，然后绘制像高曲线进行比对，从而确保双向验证参数的准确性和一致性。

为实验方便，直接采用上节拟合的畸变系数 $k_1-k_4$ 和估计的内参矩阵 $K$ 作为我们的“标定参数”结果，反推上述的畸变表cameraData数据，注意这里已知 $\theta$ ，求像高。

disp("标定内参矩阵K：");

标定内参矩阵K：

disp(newCameraMatrixK);

  974.6782         0  960.0000
         0  974.6782  540.0000
         0         0    1.0000

disp("标定的畸变系数为(k1~k4)："+strjoin(string(opencvCoeffs'),","))

标定的畸变系数为(k1~k4)：-0.10493,0.015032,-0.013603,0.0030601

% 入射角是从0.1°逐渐变化到90°，转为弧度制
theta = deg2rad(angleIn);
RefX = tan(theta);
RefX = filloutliers(RefX,"nearest","mean");% 过滤填充异常点，tan90接近无限大
RefY = 0;
RefH = abs(RefX).*sign(tan(theta)); % 单位:mm

% 再计算拟合像高
r_d = theta.*(1+opencvCoeffs(1)*theta.^2+opencvCoeffs(2)*theta.^4+...
    opencvCoeffs(3)*theta.^6+opencvCoeffs(4)*theta.^8);

scale = r_d./RefH;
RealX = RefX.*scale;
RealY = RefY.*scale;
r_d = sqrt(RealX.^2+RealY.^2);

% 绘制参考像高vs实际像高vs百分比误差
figure;
plot(rad2deg(theta),RefH,...
    rad2deg(theta),r_d,...
    rad2deg(theta),(r_d-RefH)./RefH*100,...
    LineWidth=2)
hold on;grid on;

plot(cameraData{:,1},cameraData{:,3},"--",... % Ref height
    cameraData{:,1},cameraData{:,2},":",... % Real height
    cameraData{:,1},(cameraData{:,2}-cameraData{:,3})./cameraData{:,3}*100,"-.",...
    LineWidth=2)

f = mean([newCameraMatrixK(1,1),newCameraMatrixK(2,2)])*sensorRatio;
legend(["paraxial height(mm),f=1","real height(mm),f=1","DISTORTION(%),f=1",...
    "factory paraxial height(mm),f="+string(f),"factory real height(mm),f="+string(f),...
    "factory DISTORTION(%),f="+string(f)],Location="northwest");
ax = gca;
ax.YLim = [-50,50];
ax.XAxis.TickLabelFormat = '%g\x00B0';% 'degrees'
xlabel("入射角\theta");
ylabel("像高/百分比");
title("distortion curve(f=1 vs f="+string(mean(f))+")");

实线为推算的像高曲线与厂商提供畸变表像高曲线(虚线)不重合？

Oops！原来是在不同成像平面上像高差异导致的(就是最上面分析的平面( $\pi_1$ ， $\pi_2$ )，他们的畸变百分比是一致的！再看下下面焦距弥补导致的像高曲线变化。

% 转换到实际f的焦距成像平面上的像高
RefH = f.*RefH;
r_d = f.*r_d;

% 绘制厂商结果对比图
figure;
plot(rad2deg(theta),RefH,...
    rad2deg(theta),r_d,...
    rad2deg(theta),(r_d-RefH)./RefH*100,...
    LineWidth=2)
hold on;grid on;

plot(cameraData{:,1},cameraData{:,3},"--",... % Ref height
    cameraData{:,1},cameraData{:,2},":",... % Real height
    cameraData{:,1},(cameraData{:,2}-cameraData{:,3})./cameraData{:,3}*100,"-.",...
    LineWidth=2)
legend(["paraxial height(mm),f="+string(f),"real height(mm),f="+string(f),"DISTORTION(%),f="+string(f),...
    "factory paraxial height(mm),f="+string(f),"factory real height(mm),f="+string(f),...
    "factory DISTORTION(%),f="+string(f)],Location="northwest");
ax = gca;
ax.YLim = [-50,50];
ax.XAxis.TickLabelFormat = '%g\x00B0';% 'degrees'
xlabel("入射角\theta");
ylabel("像高/百分比");
title("distortion curve");

writematrix([rad2deg(theta),r_d,RefH],"backupDistortionTable.xlsx")

现在为实际焦距 $f$ 下的成像像高，符合预期期望。

References

1. Fisheye camera model
2. Juho Kannala and Sami Brandt. A generic camera model and calibration method for conventional, wide-angle, and fish-eye lenses. IEEE transactions on pattern analysis and machine intelligence, 28:1335–40, 09 2006.
3. 常用相机投影及畸变模型（针孔|广角|鱼眼）
4. 鱼眼镜头的成像原理到畸变矫正（完整版）
5. What are the main references to the fish-eye camera model in OpenCV3.0.0dev?
6. Fisheye Projection