Note
Nauðsynleg undirstaða
- Jafna línu, P.2
- Jafna hrings, P.3
- Hliðrun og skölun grafs, P.3
- (Stranglega) minnkandi og (stranglega) vaxandi föll, 2.8
- Jafnstæð og oddstæð föll, P.4
- Margliður; deiling, þáttun og rætur, P.6
- Tölugildisfallið, P.1
- Þríhyrningsójafnan, P.1
- Formerkjafallið, sgn(x), P.5
Warning
Þessi kafli fjallar um tvö afskaplega mikilvæg og nátengd hugtök, markgildi og samfelldni. Það er nauðsynlegt fyrir nemendur að ná góðum tökum á þeim því mörg hugtök í stærðfræði og hagnýtingum á stærðfræði sem verða á vegi ykkar í framtíðinni byggja á þessum hugtökum.
I'd take the awe of understanding over the awe of ignorance any day.
- Douglas Adams, The Salmon of Doubt
.. index::
markgildi
Segjum að fall f(x) stefni á tölu L þegar x stefnir á a, og ritum \lim_{x\rightarrow a} f(x)=L, ef við getum tryggt að f(x) sé eins nálægt L og við viljum bara með því að velja x nógu nálægt a.
Gerum ráð fyrir að fall f sé skilgreint á opnu bili umhverfis punktinn a, nema hvað hugsanlega er f(a) ekki skilgreint. Við segjum að f(x) stefni á tölu L þegar x stefnir á a, og ritum \lim_{x\rightarrow a} f(x)=L, ef eftirfarandi skilyrði er uppfyllt:
Fyrir sérhverja tölu \epsilon>0 er til tala \delta>0 sem fullnægir eftirfarandi skilyrði:
\text{fyrir öll $x$ sem uppfylla} \qquad 0 < |x-a| < \delta \qquad \text{gildir} \qquad |f(x)-L| <\epsilon.
Við segjum að talan L sé :hover:`markgildi,markgildi` f(x) þegar x stefnir á a.
.. ggb:: sYHVajyE
:width: 700
:height: 400
:img: 01_markgildi.png
:imgwidth: 12cm
Note
Þegar athugað er hvort markgildið \lim_{x\rightarrow a} f(x) er til, og þá hvert gildi þess er, þá skiptir ekki máli hvort f(a) er skilgreint eða ekki.
- \lim_{x \to a} c = c, c fasti
- \lim_{x \to a} x = a
- \lim_{x \to a} |x| = |a|
.. only:: latex
Sönnun á lið 2.
.. begin-toggle::
:label: Sýna sönnun á lið 2
Hér er fallið sem um ræðir f(x) = x og L=a. Látum \epsilon>0 vera gefið. Við viljum finna \delta >0 þannig að |x-a|<\delta hafi í för með sér |f(x)-a| < \epsilon. Þar sem f(x)=x þá er seinni ójafnan jafngild |x-a|<\epsilon. Þetta er sama ójafnan og \delta þarf að uppfylla þannig að okkur nægir að velja \delta = \epsilon. Þá hefur
|x-a| < \delta
í för með sér að
|f(x) -a| < \epsilon.
.. end-toggle::
.. begin-toggle::
:label: Sýna ábendingar
Ábendingar fyrir sannanir á liðum 1 og 3
Til að sanna þetta þá er best að teikna mynd til að átta sig á því hvernig föllin haga sér. Svo má velja
- \delta sem hvað sem er.
- \delta=\epsilon.
.. end-toggle::
.. index::
markgildi; frá hægri
Gerum ráð fyrir að fall f sé skilgreint á opnu bili (a,b). Segjum að f(x) stefni á tölu L þegar x stefnir á a frá hægri, og ritum \lim_{x\rightarrow a^+} f(x)=L, ef við getum tryggt að f(x) sé eins nálægt L og við viljum bara með því að velja x>a nógu nálægt a.
Gerum ráð fyrir að fall f sé skilgreint á opnu bili (a,b). Við segjum að f(x) stefni á tölu L þegar x stefnir á a frá hægri, og ritum \lim_{x\rightarrow a^+} f(x)=L, ef eftirfarandi skilyrði er uppfyllt.
Fyrir sérhverja tölu \epsilon>0 er til tala \delta>0 þannig að um öll x sem eru þannig að
a<x<a+\delta,\quad \text{ þá er } \quad |f(x)-L| <\epsilon.
.. ggb:: nDwQJCG2
:width: 600
:height: 400
:img: 02_markfrahaegri.png
:imgwidth: 12cm
.. index::
markgildi; frá vinstri
Gerum ráð fyrir að fall f sé skilgreint á opnu bili (b,a). Segjum að f(x) stefni á tölu L þegar x stefnir á a frá vinstri, og ritum \lim_{x\rightarrow a^-} f(x)=L, ef við getum tryggt að f(x) sé eins nálægt L og við viljum bara með því að velja x<a nógu nálægt a.
Gerum ráð fyrir að fall f sé skilgreint á opnu bili (b,a). Við segjum að f(x) stefni á tölu L þegar x stefnir á a frá vinstri, og ritum \lim_{x\rightarrow a^-} f(x)=L, ef eftirfarandi skilyrði er uppfyllt.
Fyrir sérhverja tölu \epsilon>0 er til tala \delta>0 þannig að um öll x sem eru þannig að
a-\delta<x<a,\quad \text{ þá er } \quad |f(x)-L| <\epsilon.
.. ggb:: fV63g8mx
:width: 600
:height: 400
:img: 03_markfravinstri.png
:imgwidth: 12cm
Gerum ráð fyrir að fall f sé skilgreint á opnu bili umhverfis punktinn a, nema hvað hugsanlega er f(a) ekki skilgreint. Þá er
\lim_{x\rightarrow a} f(x)=L
ef og aðeins ef
\lim_{x\rightarrow a^-} f(x)=L=\lim_{x\rightarrow a^+} f(x).
:hover:`Tölugildisfallið,tölugildi` |x| er skilgreint sem x ef x\geq 0 en -x ef x<0. Um tölugildisfallið gildir
\lim_{x\to 0^+} \frac x{|x|} = 1\lim_{x\to 0^-} \frac x{|x|} = -1\lim_{x\to 0} \frac x{|x|} \quad \text{er ekki til}
.. begin-toggle::
:label: Sýna sönnun
Hér skoðum við eingöngu x>0 og þá gildir að \frac x{|x|} = \frac xx = 1. Þar sem \lim_{x \to 0} 1 = 1 samkvæmt :ref:`Dæmi 2.1.3 <daemi2.1>` þá gildir einni að \lim_{x \to 0^+} 1 = 1 samkvæmt :ref:`setningunni <setning-hv_markgildi>` hér á undan. Þannig að
\lim_{x \to 0^+} \frac x{|x|} = \lim_{x \to 0^+} 1 = 1Eins og liður 1 nema ef x<0 þá er \frac x{|x|} = \frac x{-x} = -1
Af liðum 1 og 2 sést að hægri og vinstri markgildin eru ekki þau sömu þannig að samkvæmt :ref:`setningunni <setning-hv_markgildi>` hér á undan þá er markgildið ekki til.
.. end-toggle::
Gerum ráð fyrir að \lim_{x\rightarrow a}f(x)=L og að \lim_{x\rightarrow a}g(x)=M. Þá gildir
- \lim_{x\rightarrow a}\Big(f(x)+g(x)\Big)=L+M.
- \lim_{x\rightarrow a}\Big(f(x)-g(x)\Big)=L-M.
- \lim_{x\rightarrow a}f(x)g(x)=LM.
- \lim_{x\rightarrow a}kf(x)=kL, þar sem k fasti.
- \lim_{x\rightarrow a}f(x)/g(x)=L/M, að því gefnu að M\neq 0.
- Gerum ráð fyrir að m og n séu heiltölur þannig að f(x)^{m/n} sé skilgreint fyrir öll x á bili (b,c) umhverfis a (en ekki endilega fyrir x=a) og að L^{m/n} sé skilgreint. Þá er \lim_{x\rightarrow a}f(x)^{m/n}=L^{m/n}.
- Ef til er bil (b,c) sem inniheldur a þannig að f(x)\leq g(x) fyrir öll x\in (b,c), nema kannski x=a, þá er \lim_{x\rightarrow a}f(x)=L\leq M=\lim_{x\rightarrow a}g(x).
Warning
Liður (1) í setningunni á undan segir að ef markgildin \lim_{x\to a} f(x) og \lim_{x\to a} g(x) eru til þá sé markgildið \lim_{x\to a} (f(x)+g(x)) einnig til.
En hún segir ekki að ef f og g eru föll þannig að markgildið \lim_{x\to a} (f(x)+g(x)) er til, að þá séu markgildin \lim_{x\to a} f(x) og \lim_{x\to a} g(x) einnig til.
.. begin-toggle::
:label: Sýna sönnun á lið 1.
Sönnun á lið 1
Við viljum sýna að fyrir \epsilon>0 þá sé til \delta>0 þannig að ef |x-a|<\delta þá sé |f(x)+g(x) - (L+M)|<\epsilon. Látum nú \epsilon>0 vera gefið, þá fæst af \lim_{x\to a} f(x) = L að til er \delta_1>0 þannig að
|f(x)-L| < \frac \epsilon 2
ef |x-a|<\delta_1. Eins fæst af \lim_{x \to a} g(x)=M að til er \delta_2 þannig að
|g(x)-M| < \frac \epsilon 2
ef |x-a|<\delta_2.
Ef við setjum \delta = \min\{\delta_1,\delta_2\} þá þýðir það að öll x sem uppfylla |x-a|<\delta uppfylla einnig |x-a|<\delta_1 og |x-a|<\delta_2. Þá gefur þríhyrningsójafnan okkur að fyrir slíkt x þá er
|f(x)+g(x) - (L+M)| = |f(x)-L + g(x)-M| \\ < |f(x)-L| + |g(x)-M| < \frac \epsilon 2 + \frac \epsilon 2 = \epsilon,
sem er það sem við vildum sýna.
.. end-toggle::
.. index::
klemmureglan
Gerum ráð fyrir að f(x)\leq g(x)\leq h(x) fyrir öll x á bili (b, c) sem inniheldur a, nema kannski x=a. Gerum enn fremur ráð fyrir að
\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow a}h(x)=L.
Þá er \lim_{x\rightarrow a}g(x)=L.
.. begin-toggle::
:label: Sýna sönnun
Sönnun
Látum \epsilon>0 vera gefið. Við viljum sýna að þá sé til \delta>0 þannig að |g(x)-L|<\epsilon fyrir öll x sem uppfylla |x-a|<\delta.
Þetta má líka skrifa svona: Við viljum sýna að þá sé til \delta>0 þannig að L-\epsilon<g(x)<L+\epsilon fyrir öll x sem uppfylla a-\delta < x<a+\delta.
Við vitum nú að þar sem \lim_{x\to a} f(x) = L þá er til \delta_1 þannig að L-\epsilon<f(x)<L+\epsilon fyrir öll x sem uppfylla a-\delta_1 < x<a+\delta_1.
Eins þá fæst af \lim_{x\to a} h(x) = L að til er \delta_2 þannig að L-\epsilon<g(x)<L+\epsilon fyrir öll x sem uppfylla a-\delta_2 < x<a+\delta_2.
Setjum nú \delta = \min\{\delta_1,\delta_2\} og athugum að það þýðir að fyrir sérhvert x sem uppfyllir a-\delta < x < a+\delta uppfyllir einnig a-\delta_1 < x<a+\delta_1 og a-\delta_2 < x<a+\delta_2. Þá gefur f(x)\leq g(x)\leq h(x) að
L-\epsilon<f(x) \leq g(x) \leq h(x) < L+\epsilon.
Þar með er L-\epsilon < g(x) < L+\epsilon og þá höfum við sýnt að \lim_{x\to a} g(x) = L.
.. end-toggle::
\lim_{x\to 0} \sin\left(\frac 1x\right) \quad \text{er ekki til}\lim_{x\to 0} x\sin\left(\frac 1x\right) = 0\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1
.. only:: latex
Sönnun á lið 1.
.. begin-toggle::
:label: Sýna sönnun á 1.
Sönnum þetta með mótsögn. Gerum ráð fyrir að til sé markgildi L þannig að fyrir sérhvert \epsilon >0 er til \delta>0 þannig að |x-0|<\delta hefur í för með sér að |\sin(1/x) - L|<\epsilon. Til þess að þetta leiði til mótsagnar þurfum við að finna \epsilon>0 sem er þannig að sama hversu lítið \delta>0 er valið þá er alltaf til x þannig að |x-0|<\delta og
\left|\sin\left(\frac 1x \right)-L\right| \geq \epsilon.
Veljum \epsilon = 0,5. Ástæðan fyrir þessu vali er sú að þar sem \sin(1/x) sveiflast á milli -1 og 1 þá er nóg að velja tölu sem er þannig að fallið sveiflist út fyrir bilið [L-\epsilon,L+\epsilon]. Í þessu tilviki þýðir það að \epsilon þarf að vera minna en 1.
Ef markgildið er til þá er ætti að vera til \delta>0 þannig að |\sin(1/x)-L|< 0.5 fyrir x sem uppfylla |x-0|<\delta. Byrjum á að skoða tilvikið L\leq 0. Finnum nógu stóra náttúrlega tölu k þannig að \frac 1{2\pi k + \pi/2} < \delta. Ef við setjum x=\frac 1{2\pi k + \pi/2} þá fæst að |x-0|<\delta en
\left|\sin\left(\frac 1x \right) - L\right| = |\sin(2\pi k +\pi/2) - L| = |1-L| > 0,5
Tilvikið þegar L>0 er eins nema þá veljum við x=\frac 1{2\pi k - \pi/2} sem þýðir að \sin(x) = -1.
.. ggb:: yfYAfqtm
:width: 652
:height: 352
:zoom_drag: false
:img: 03_daemi-sin.png
:imgwidth: 12cm
.. end-toggle::
.. index::
markgildi; þegar x stefnir á óendalegt
Gerum ráð fyrir að fall f sé skilgreint á bili (a, \infty). Segjum að f(x) stefni á tölu L þegar x stefnir á \infty, og ritum \lim_{x\rightarrow \infty} f(x)=L, ef við getum tryggt að f(x) sé eins nálægt L og við viljum bara með því að velja x nógu stórt.
Gerum ráð fyrir að fall f sé skilgreint á bili (a,\infty). Við segjum að f(x) stefni á tölu L þegar x stefnir á \infty, og ritum \lim_{x\rightarrow \infty} f(x)=L, ef eftirfarandi skilyrði er uppfyllt:
Fyrir sérhverja tölu \epsilon>0 er til tala R þannig að um öll x>R gildir að
|f(x)-L|<\epsilon.
Fyrir -\infty er þetta gert með sama sniði.
Gerum ráð fyrir að fall f sé skilgreint á bili (-\infty, a). Segjum að f(x) stefni á tölu L þegar x stefnir á -\infty, og ritum \lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)=L, ef við getum tryggt að f(x) sé eins nálægt L og við viljum bara með því að velja x sem nógu stóra neikvæða tölu.
Gerum ráð fyrir að fall f sé skilgreint á bili (-\infty,a). Við segjum að f(x) stefni á tölu L þegar x stefnir á -\infty, og ritum \lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)=L, ef eftirfarandi skilyrði er uppfyllt:
Fyrir sérhverja tölu \epsilon>0 er til tala R þannig að um öll x<R gildir að
|f(x)-L|<\epsilon.
.. index::
markgildi; óendanlegt sem markgildi
Gerum ráð fyrir að fall f sé skilgreint á opnu bili umhverfis punktinn a, nema hvað hugsanlega er f(a) ekki skilgreint. Segjum að f(x) stefni á \infty þegar x stefnir á a, og ritum \lim_{x\rightarrow a} f(x)=\infty, ef við getum tryggt að f(x) sé hversu stórt sem við viljum bara með því að velja x nógu nálægt a.
Gerum ráð fyrir að fall f sé skilgreint á opnu bili umhverfis punktinn a, nema hvað hugsanlega er f(a) ekki skilgreint. Við segjum að f(x) stefni á \infty þegar x stefnir á a, og ritum \lim_{x\rightarrow a} f(x)=\infty, ef eftirfarandi skilyrði er uppfyllt.
Fyrir sérhverja tölu B er til tala \delta>0 þannig að um öll x sem eru þannig að
0 < |x-a| <\delta \quad \text{ gildir a\eth } \quad f(x) > B.
Warning
Athugið að \infty er ekki tala. Þó að \lim_{x\rightarrow a} f(x)=\infty þá er samt sagt að markgildið \lim_{x\rightarrow a} f(x) sé ekki til.
Gerum ráð fyrir að fall f sé skilgreint á opnu bili umhverfis punktinn a, nema hvað hugsanlega er f(a) ekki skilgreint. Segjum að f(x) stefni á -\infty þegar x stefnir á a, og ritum \lim_{x\rightarrow a} f(x)=-\infty, ef við getum tryggt að f(x) sé hversu lítið sem við viljum bara með því að velja x nógu nálægt a.
Gerum ráð fyrir að fall f sé skilgreint á opnu bili umhverfis punktinn a, nema hvað hugsanlega er f(a) ekki skilgreint. Við segjum að f(x) stefni á -\infty þegar x stefnir á a, og ritum \lim_{x\rightarrow a} f(x)=-\infty, ef eftirfarandi skilyrði er uppfyllt.
Fyrir sérhverja tölu B er til tala \delta>0 þannig að um öll x sem eru þannig að
0 < |x-a| < \delta \quad \text{ gildir a\eth } \quad f(x)<B.
Warning
Athugið að -\infty er ekki tala. Þó að \lim_{x\rightarrow a} f(x)=-\infty þá er samt sagt að markgildið \lim_{x\rightarrow a} f(x) sé ekki til.
.. index::
samfelldni
samfelldni; í punkti
Hér skilgreinum við og skoðum seinna grundvallarhugtakið í þessum kafla, sem er :hover:`samfelldni`.
.. index::
innri punktur
Látum A\subseteq {{\mathbb R}} og x\in A. Við segjum að x sé :hover:`innri punktur` A ef A inniheldur opið bil umhverfis x, það er að segja til er tala \delta>0 þannig að (x-\delta, x+\delta)\subseteq A.
Ef x er ekki innri punktur A og x\in A þá segjum við að x sé :hover:`jaðarpunktur` A.
.. index::
samfelldni; í punkti
Látum f vera fall og c innri punkt skilgreiningarsvæðis f. Sagt er að f sé samfellt í punktinum c ef
\lim_{x\rightarrow c}f(x)=f(c).
Látum f og g vera föll. Gerum ráð fyrir að c sé innri punktur skilgreiningarsvæðis beggja fallanna og að bæði föllin séu samfelld í punktinum c. Þá eru eftirfarandi föll samfelld í c:
- f+g
- f-g
- fg
- kf, þar sem k er fasti
- f/g, ef g(c)\neq 0
- \Big(f(x)\Big)^{1/n}, að því gefnu að f(c)>0 ef n er slétt tala og f(c)\neq 0 ef n<0.
Þessi setning er bein afleiðing af :ref:`Setningu 2.3.1 <setning-markgildi>`.
Látum g vera fall sem er skilgreint á opnu bili umhverfis c og samfellt í c og látum f vera fall sem er skilgreint á opnu bili umhverfis g(c) og samfellt í g(c). Þá er fallið f\circ g skilgreint á opnu bili umhverfis c og er samfellt í c.
Note
Ef fall er skilgreint með formúlu og skilgreingamengið er ekki tilgreint sérstaklega, þá er venjan að líta alla þá punkta þar sem formúlan gildir sem skilgreingarmengi fallsins
.. index::
samfelldni, samfellt fall
Við segjum að fall f sé :hover:`samfellt,samfellt fall` ef það er samfellt í sérhverjum punkti skilgreingarmengisins.
Óformlega þýðir þetta að hægt er að teikna graf f án þess að lyfta pennanum frá blaðinu.
Eftirfarandi föll eru samfelld
- margliður
- ræð föll
- ræð veldi
- hornaföll; \sin, \cos, \tan
- tölugildisfallið |x|
Með því að nota föllin úr dæminu á undan sem efnivið þá getum við búið til fjölda samfelldra fall með því að beita aðgerðunum úr Setningu 2.6.4 og Setningu 2.6.3.
.. index::
samfelldni; frá hægri/vinstri
Fallið \cos(3x+5) er samfellt. Margliðan g(x) =3x+5 og f(x) = \cos(x) eru samfelld föll og þá er samskeytingin f\circ g(x) = \cos(3x+5) einnig samfellt fall.
Rifjum upp skilgreininguna á samfelldni.
Látum f vera fall og c innri punkt skilgreiningarsvæðis f. Sagt er að f sé samfellt í punktinum c ef
\lim_{x\rightarrow c}f(x)=f(c).
Þessi skilgreining virkar aðeins fyrir innri punkta skilgreiningarsvæðisins. Þannig að ef ætlunin er að rannsaka samfelldni í jaðarpunktum þá gengur þessi skilgreining ekki. Hins vegar getum við útvíkkað skilgreininguna á samfelldni fyrir hægri og vinstri endapunkta bila með því að einskorða okkur við markgildi frá vinstri og hægri.
Fall f er samfellt frá hægri í punkti c ef \lim_{x\rightarrow c^+}f(x)=f(c).
Hér er gert ráð fyrir að fallið f sé amk. skilgreint á bili [c, a).
Fall f er samfellt frá vinstri í punkti c ef \lim_{x\rightarrow c^-}f(x)=f(c).
Hér er gert ráð fyrir að fallið f sé amk. skilgreint á bili (a, c].
Uppfærum nú skilgreininguna á :ref:`samfelldu falli <skilgrsamfellt>`.
.. index::
fall; samfellt
Gerum ráð fyrir að f sé fall sem er skilgreint á mengi A, þar sem A er sammengi endanlega margra bila. Við segjum að fallið f sé samfellt ef það er samfellt í öllum innri punktum skilgreingarmengisins og ef það er samfellt frá hægri/vinstri í jaðarpunktum skilgreingarmengisins, eftir því sem við á.
Note
Ef fall er samfellt á opnu bili (a,b), og ef a<c<d<b, þá er fallið einnig samfellt á bilinu [c,d].
.. index::
há- og lággildislögmálið
Látum f vera samfellt fall skilgreint á lokuðu takmörkuðu bili [a,b]. Þá eru til tölur x_1 og x_2 í [a,b] þannig að fyrir allar tölur x í [a,b] er
f(x_1)\leq f(x)\leq f(x_2).
Þetta þýðir að samfellt fall f á lokuðu og takmörkuðu bili [a,b] tekur bæði hæsta og lægsta gildi á bilinu. Hæsta gildið er þá f(x_2) og lægsta gildið er f(x_1).
Note
Það er mögulegt að fallið taki há/lággildi sitt í fleiri en einum punkti.
.. index::
milligildissetningin
Látum f vera samfellt fall skilgreint á lokuðu takmörkuðu bili [a,b]. Gerum ráð fyrir að s sé tala sem liggur á milli f(a) og f(b). Þá er til tala c sem liggur á milli a og b þannig að f(c)=s.
.. ggb:: zEQQcGcQ
:width: 700
:height: 400
:img: 10_milligildissetn.png
:imgwidth: 12cm
.. begin-toggle::
:label: Sýna sönnun
Sönnun
Í setningunni þá gerum við ráð fyrir að s liggi á milli f(a) og f(b). Til að svona s sé til þá þarf f(a) \neq f(b).
Skoðum tilvikið þegar f(a) < f(b), en þá er f(a) < s < f(b). Tilvikið f(a)>f(b) er nánast eins.
Skilgreinum mengið S = \{ x \in [a,b] ; f(x) < s\}. Þetta mengi er ekki tómt því a er í því og það er takmarkað að ofan af b. Samkvæmt :ref:`Frumsendunni um efra mark <FrumsendanUmEfraMark>` þá er til efra mark c \in[a,b] fyrir S. Við viljum sýna að f(c)=s.
Ef f(c)>s þá segir samfelldni f okkur að til sé lítið bil kringum c þar sem fallið er stærra en s. Sér í lagi er til tala minni en c sem er ekki í menginu S. Þetta þýðir að c er ekki efra mark S. Orðum þetta aðeins nákvæmar.
Veljum 0<\epsilon < f(c)-s þá er til \delta>0 þannig að ef x\in ]c-\delta,c+\delta[ þá er |f(c)-f(x)|<\epsilon < f(c) -s. Þetta hefur í för með sér að f(c) - f(x) < f(c) -s, það er f(x)>s. Þetta þýðir að öll x\in]c-\delta,c[ eru "minni" efri mörk fyrir S en c sem gengur ekki og er því mótsögn.
Ef f(c)<s þá segir samfelldni f okkur að til sé lítið bil kringum c þar sem fallið er minna en s. Sér í lagi er til tala stærri en c sem er í menginu S. Þetta þýðir að c er ekki efra mark, því efra mark á að vera stærra eða jafnt og öll stök í S. Þetta er einnig mótsögn.
Þá er bara eftir möguleikinn f(c)=s, sem er nákvæmlega það sem við vildum.
.. end-toggle::
Note
Það er möguleiki að það séu fleiri en einn punktur á bilinu þar sem fallið tekur gildið s. Sönnunin hér á undan finnur þann stærsta.
Ef P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0 er margliða af oddatölu stigi n, þá er til rauntala c þannig að P(c)=0.
.. begin-toggle::
:label: Sýna sönnun
Sönnun
Gerum ráð fyrir að a_n>0. Þá er \lim_{x\to -\infty} P(x) = -\infty og \lim_{x\to \infty} P(x) = \infty. Það þýðir að til eru tölur a og b þannig að P(a)<0 og P(b)>0. Með því að beita Milligildissetningunni á fallið P á bilinu [a,b] og með s=0 þá fæst að til er núllstöð á bilinu [a,b].
Ef a_n < 0 þá víxlast formerkin á markgildunum hér að ofan en röksemdafærslan er að öðru leyti eins.
.. end-toggle::