We are stuck with technology when what we really want is just stuff that works.
- Douglas Adams, The Salmon of Doubt
.. index::
logri
Látum A_{x_0} tákna flatarmál svæðisins sem afmarkast af x-ás, grafinu y=\frac{1}{x} og línunum x=1 og x=x_0. Þá skilgreinum við :hover:`náttúrlega logrann,náttúrlegur logri` með formúlunni
\ln x_0 =\left\{\begin{array}{ll}
A_{x_0} & \text{ef }x_0 \geq 1,\\
-A_{x_0} & \text{ef }0<x_0<1.
\end{array}
\right.
.. ggb:: j2UHkvOM
:width: 700
:height: 400
:img: 01_ln.png
:imgwidth: 12cm
:zoom_drag: false
Warning
Fallið \ln er bara skilgreint fyrir jákvæðar rauntölur
Náttúrlegi logrinn er diffranlegur og afleiðan uppfyllir
\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}.
Af þessu fylgir að logrinn er samfellt fall.
Fyrir allar tölur x,y>0 gildir að:
- \ln(1) = 0
- \ln(xy)=\ln x+\ln y
- \ln(1/x)=-\ln x
- \ln(x/y)=\ln x-\ln y
- \ln (x^r)=r\ln x, fyrir r \in mathbb Q.
.. index::
veldisvísisfallið
Fallið \ln x er strangt vaxandi og þar með eintækt.
:hover:`Veldisvísisfallið,veldisvísisfall`, \exp x, er skilgreint sem andhverfa fallsins \ln x. Skilgreiningarsvæði \exp x er jafnt myndmengi \ln x sem er {{\mathbb R}}. Myndmengi \exp x er jafnt skilgreiningarsvæði \ln x sem er bilið (0,\infty).
.. index::
e
veldisvísisfallið; e
Skilgreinum töluna með e=\exp 1.
Það þýðir að \ln(e)=1, og talan e ákvarðast þess vegna af því að flatarmál svæðisins milli x-ás og grafs \frac 1x á bilinu [1,e] sé 1.
Note
Hver er munurinn á e^x og \exp(x) ?
e^x er aðeins skilgreint þegar x er ræð tala, en \exp(x) er skilgreint fyrir allar rauntölur því logrinn, \ln:(0,\infty)\to {{\mathbb R}}, er átækur.
Það er hins vegar hægt að sýna að
\exp(x)=\lim_{r\to x, r\text{ ræ\eth tala}} e^r.
Því er eðlilegt að rita fyrir rauntölu x, hvort sem hún er ræð eða óræð, að e^x=\exp x. Þannig að héðan í frá gerum við engan greinarmun á e^x og \exp x, við notum bara það sem lítur betur út fagurfræðilega.
Note
Athugið að
e^{\ln x}=x \text{ fyrir allar tölur }x>0\qquad \text{og}
\qquad \ln(e^x)=x \text{ fyrir allar tölur }x.
Út frá eiginleikum lograns fáum við svo eftirfarandi
- e^0=1,
- e^{x+y}=e^x e^y,
- e^{-x}=\frac{1}{e^x},
- e^{x-y}=\frac{e^x}{e^y},
- \left(e^x\right)^y=e^{xy}, fyrir y \in \mathbb Q.
Note
Hænan eða eggið? Hér höfum við nálgast \ln og \exp þannig að við byrjum á að skilgreina \ln með heildi (flatarmáli) og finnum svo andhverfu lograns, \exp.
Einnig væri mögulegt að byrja á því að sýna að e^x sé vel skilgreint, ekki bara fyrir ræð x heldur einnig óræð. Það myndum við gera með því að nota markgildið \exp(x)=\lim_{r\to x, r\text{ ræ\eth tala}} e^r hér að ofan, og taka þá e^x sem skilgreiningu á \exp x og finna svo andhverfuna, \ln.
Báðar þessar aðferðir hafa kosti og galla, en við notum þá fyrri vegna þess að hún gefur myndræna framsetningu á logranum.
.. index::
veldisvísisfallið; grunntala
Fyrir tölu a>0 og rauntölu x skilgreinum við
a^x=e^{x\ln a}.
.. index::
logri; grunntala
Andhverfa fallsins a^x er kölluð logri með grunntölu a og táknuð með \log_a x. Fallið \log_a x er skilgreint fyrir öll x>0.
y =\log_a(x)\qquad \text{ þá og því a\eth eins a\eth } \qquad x = a^y.
Fyrir rauntölu a>0 og allar rauntölur x,y gildir að:
- a^0=1
- a^1=a
- a^{x+y}=a^xa^y
- a^{-x}=\frac{1}{a^x}
- a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}
- \big(a^x\big)^y=a^{xy}
- (ab)^x=a^xb^x (hér er forsenda að b>0).
Fyrir rauntölu a>0 og allar rauntölur x,y gildir að:
- \log_a 1=0
- \log_a a = 1
- \log_a(xy)=\log_a x+\log_a y
- \log_a (1/x)=-\log_a x
- \log_a (x/y)=\log_a x-\log_a y
- \log_a (x^y)=y\log_a x
- \log_a x=\frac{\log_b x}{\log_b a} (hér er forsenda að b>0).
- \frac{d}{dx}\ln x=\frac 1x
- \frac{d}{dx}e^x=e^x
- \frac{d}{dx}a^x=(\ln a)a^x
- \frac{d}{dx}\log_a x=\frac{1}{(\ln a)x}
Ef a>0 þá er
- \lim_{x\to \infty} \frac{x^a}{e^x} = 0
- \lim_{x\to \infty} \frac{\ln(x)}{x^a} = 0
- \lim_{x\to -\infty} |x|^a e^x = 0
- \lim_{x\to 0^+} x^a\, \ln(x) = 0
Note
Athugið að setningin að ofan gildir óháð því hversu stórt a er (liðir 1 og 3) eða hversu lítið a er (liðir 2 og 4).
Með öðrum orðum:
- Veldisvísisföll vaxa hraðar en allar margliður.
- Lograr vaxa hægar en allar margliður.
Fallið \sin(x) skilgreint á öllum rauntalnaásnum er ekki eintækt og á sér því ekki andhverfu.
Við getum hins vegar takmarkað okkur við hálfa lotu, þ.e. skoðum bara x\in [-\frac \pi 2, \frac \pi 2]. \sin(x) takmarkað við þetta bil táknum við með {{\text{Sin}}}(x). {{\text{Sin}}} er strangt vaxandi og því eintækt á þessu bili, og hefur þar af leiðandi andhverfu.
Andhverfa sínussins, táknuð \arcsin(x) (eða \sin^{-1}(x)), er andhverfa {{\text{Sin}}} og hefur því myndmengið [-\frac \pi 2, \frac \pi 2] og skilgreiningarmengið [-1,1].
Fallið \cos(x) skilgreint á öllum rauntalnaásnum er ekki eintækt og á sér því ekki andhverfu.
Við getum hins vegar takmarkað okkur við hálfa lotu, þ.e. skoðum bara x\in [0, \pi]. \cos(x) takmarkað við þetta bil táknum við með {{\text{Cos}}}(x). {{\text{Cos}}} er strangt minnkandi og því eintækt á þessu bili, og hefur þar af leiðandi andhverfu.
Andhverfa kósínussins, táknuð \arccos(x) (eða \cos^{-1}(x)), er andhverfa {{\text{Cos}}} og hefur því myndmengið [0,\pi] og skilgreiningarmengið [-1,1].
Fallið \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} skilgreint á \{x \in {{\mathbb R}}; x \neq \pi k + \frac \pi 2, k \in {{\mathbb Z}}\} er ekki eintækt og á sér því ekki andhverfu.
Við getum hins vegar takmarkað okkur við eina lotu, þ.e. skoðum bara x\in (-\frac \pi 2, \frac \pi 2). Athugið að hér eru endapunktar bilsins ekki með. \tan(x) takmarkað við þetta bil táknum við með {{\text{Tan}}}(x). {{\text{Tan}}} er strangt vaxandi og því eintækt á þessu bili, og hefur þar af leiðandi andhverfu.
Andhverfa tangensins, táknuð \arctan(x) (eða \tan^{-1}(x)), er andhverfa {{\text{Tan}}} og hefur því myndmengið (-\frac \pi 2, \frac \pi 2) og skilgreiningarmengið (-\infty,\infty). Þar að auki þá er \lim_{x\to \infty} \arctan(x) = \frac \pi 2 og \lim_{x\to -\infty} \arctan(x) = -\frac \pi 2.
- \frac d{dx} \arcsin(x) = \frac 1{\sqrt{1-x^2}}
- \frac d{dx} \arccos(x) = \frac {-1}{\sqrt{1-x^2}}
- \frac d{dx} \arctan(x) = \frac 1{1+x^2}
Við skilgreinum :hover:`breiðbogasínus`, \sinh, og :hover:`breiðbogakósínus`, \cosh, með eftirfarandi formúlum
\begin{aligned}
\sinh(x) &= \frac{e^x - e^{-x}}2,\\
\cosh(x) &= \frac{e^x + e^{-x}}2.\end{aligned}
- \frac d{dx} \sinh(x) = \cosh(x)
- \frac d{dx} \cosh(x) = \sinh(x)
Warning
Það er enginn mínus í afleiðu \cosh eins og í afleiðu \cos.
- \sinh(0) = 0 og \cosh(0) = 1
- \cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1
- \sinh(-x) = -\sinh(x)
- \cosh(-x) = \cosh(x)
- \sinh(x+y) = \sinh(x)\cosh(y) + \cosh(x)\sinh(y)
- \cosh(x+y) = \cosh(x)\cosh(y) + \sinh(x)\sinh(y)
- \cosh(2x) = \cosh^2(x) + \sinh^2(x) = 1+2\sinh^2(x) = 2\cosh^2(x)-1
- \sinh(2x) = 2\sinh(x)\cosh(x)
Við skilgreinum :hover:`breiðbogatangens` með
\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}
- \tanh(x) = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}
- \frac d{dx} \tanh(x) = \frac{1}{\cosh^2(x)}
- \lim_{x\to \infty} \tanh(x) = 1
- \lim_{x\to -\infty} \tanh(x) = -1
Af Setningum 4.6.2 (1) og 4.6.5 (2) sjáum við að afleiður \sinh og \tanh eru jákvæðar og föllin því stranglega vaxandi. Þau eru þar með eintæk og eiga sér andhverfur.
:hover:`Andhverfa breiðbogasínussins,andhverfur breiðbogasínus`, táknuð {{\text{arsinh}}}(x) (eða \sinh^{-1}(x)), er andhverfa \sinh og hefur myndmengið (-\infty,\infty) og skilgreiningarmengið (-\infty,\infty). Þar að auki þá er
{{\text{arsinh}}}(x) = \ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)
.. todo::
mynd
:hover:`Andhverfa breiðbogatangensins,andhverfur breiðbogatangens`, táknuð {{\text{artanh}}}(x) (eða \tanh^{-1}(x)), er andhverfa \tanh og hefur myndmengið (-\infty,\infty) og skilgreiningarmengið (-1,1). Þar að auki þá er
{{\text{artanh}}}(x) = \frac 12 \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)
.. todo::
mynd
Þar sem \cosh er ekki eintækt fall þá verðum við að beita svipuðum aðferðum eins og þegar við fundum \arcsin til þess að finna andhverfu þess. Það er, við þurfum að takmarka skilgreiningarmengi þess.
Táknum \cosh(x) takmarkað við bilið [0,\infty) með {{\text{Cosh}}}(x). Fallið {{\text{Cosh}}} er strangt vaxandi og því eintækt á þessu bili, og á sér þar með andhverfu.
:hover:`Andhverfa breiðbogakósínussins,andhverfur breiðbogakósínus`, táknuð {{\text{arcosh}}}(x) (eða \cosh^{-1}(x)), er andhverfa {{\text{Cosh}}} og hefur því myndmengið [0,\infty) og skilgreiningarmengið [1,\infty). Þar að auki þá er
{{\text{arcosh}}}(x) = \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)
Við höfum séð að veldisvísisfallið og logrinn tengjast breiðbogaföllunum töluvert og það sama á við um hornaföllin. Seinna, nánar tiltekið í Stærðfræðigreiningu III, þá sjáið þið að hornaföllin og breiðbogaföllin eru bara mismunandi hliðar á veldisvísisfallinu.
