Now, the invention of the scientific method and science is, I'm sure we'll all agree, the most powerful intellectual idea, the most powerful framework for thinking and investigating and understanding and challenging the world around us that there is, and that it rests on the premise that any idea is there to be attacked and if it withstands the attack then it lives to fight another day and if it doesn't withstand the attack then down it goes.
-- Douglas Adams
.. index::
diffurjafna
see: afleiðujafna; diffurjafna
see: deildajafna; diffurjafna
diffurjafna; stig
Ritum y=y(x) sem fall af x.
:hover:`Diffurjafna` er jafna á forminu
F(x, y, y', y'', \ldots, y^{(n)})=0
þar sem F er fall (formúla) í n+2 breytistærðum.
Diffurjafnan er sögð vera af n-ta stigi ef hæsta afleiða y sem kemur fyrir í henni er n.
Að leysa diffurjöfnu felur í sér að skrifa y sem fall af x, þ.e. finna formúlu fyrir y.
Note
Deildajafna, afleiðujafna og diffurjafna eru samheiti yfir sama hlutinn.
Það að finna stofnfall fyrir gefið fall f er jafngilt því að leysa fyrsta stigs diffurjöfnuna
y'(x) = f(x),
eða með framsetningunni úr :ref:`skilgreiningunni <diffurjafna>` hér að ofan,
F(x,y') = f(x) - y'(x) = 0.
.. index::
diffurjafna; aðgreinanleg
Fyrsta stigs diffurjafna sem má rita á forminu
\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)
kallast aðgreinanleg. Það er, þátta má hægri hliðina þannig að annar þátturinn er bara fall af x og hinn þátturinn er bara fall af y.
Umritum jöfnuna yfir á formið
\frac{dy}{g(y)}=f(x)\,dx.
Warning
Það má ekkert x koma fyrir í vinstri hliðinni og ekkert y má koma fyrir í hægri hliðinni.
Síðan heildum við báðar hliðar og reiknum stofnföllin hægra og vinstra megin í jöfnunni
\int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)\,dx.
og munum eftir að setja inn heildunarfasta (einn er nóg). Þá höfum við jöfnu sem lýsir sambandi x og y, og inniheldur engar afleiður af y. Út frá þeirri jöfnu má fá upplýsingar um eiginleika lausnarinnar y. Stundum er hægt að einangra y og fá þannig formúlu fyrir lausn diffurjöfnunar.
Ef við skoðum diffurjöfnuna
y' = x\exp(x-y)
þá sjáum við að hún er aðgreinanleg því með því að skrifa \exp(x-y) = \exp (x) \exp(-y) og margfalda í gegn með \exp (y) þá fæst
\exp(y)\, y' = x\exp x.
Hér eru öll y vinstra megin og öll x hægra megin. Heildum nú beggja vegna og munum að það er nóg að setja einn heildunarfasta
\exp{y} + C = \int \exp y \, dy = \int x\exp x\, dx = x\exp x - \exp x.
Reynum nú að einangra y til þess að geta skrifað út formúlu fyrir lausninni. Byrjum á að færa heildunarfastann yfir og tökum svo logrann af báðum hliðum
y = \ln(x\exp x - \exp x - C).
.. index::
diffurjafna; línuleg
.. index::
diffurjafna; hliðruð
diffurjafna; óhliðruð
Diffurjafna á forminu
a_n(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_1(x)y'+a_0(x)y=f(x)
kallast :hover:`línuleg diffurjafna`. Hún er n-ta stigs ef a_n(x) er ekki fastafallið 0.
Ef f er fastafallið 0 þá er jafnan sögð :hover:`óhliðruð` en ef f er ekki fastafallið 0 þá er hún sögð :hover:`hliðruð,hliðruð línuleg diffurjafna`.
.. index::
diffurjafna; fyrsta stigs
Almenna línulega fyrsta stigs jöfnu má rita á forminu
y'+p(x)y=q(x).
Samsvarandi óhliðruð jafna er
y'+p(x)y=0.
Skilgreinum \mu(x)=\int p(x)\,dx (eitthvert stofnfall). Þá er
y(x)=e^{-\mu(x)}\int e^{\mu(x)}q(x)\,dx
lausn á diffurjöfnunni.
Warning
Þegar þið reiknið \mu(x)=\int p(x)\,dx þá megið þið sleppa heildunarfastanum, en ekki þegar þið reiknið heildið \int e^{\mu(x)}q(x)\,dx.
.. index::
diffurjafna; annars stigs
.. begin-toggle::
:label: Sýna sönnun
:starthidden: True
Sönnun
Setjum
y(x)=e^{-\mu(x)}\int e^{\mu(x)}q(x)\,dx
inn í vinstri hlið diffurjöfnunnar, ef út kemur hægri hliðin q(x) þá höfum við sýnt að þetta er lausn.
Athugum fyrst að
\begin{aligned}
y'(x) &=e^{-\mu(x)}(-\mu'(x)) \int e^{\mu(x)}q(x)\, dx + e^{-\mu(x)} \frac{d}{dx} \int e^{\mu(x)}q(x)\,dx \\
&= -e^{-\mu(x)}p(x)\int e^{\mu(x)}q(x)\, dx + e^{-\mu(x)} e^{\mu(x)}q(x) = -p(x)y(x) + q(x).
\end{aligned}
Ef við setjum þetta inn í diffurjöfnuna fæst
y'(x) + p(x)y(x) = -p(x)y(x) + q(x) + p(x)y(x) = q(x),
þannig að y skilgreint eins og hér að ofan er greinilega lausn á diffurjöfnunni.
.. end-toggle::
Línuleg annars stigs diffurjafna með fastastuðla er diffurjafna á forminu
ay''+by'+cy=f(x)
þar sem a, b og c eru fastar, a\neq 0.
Jafnan er sögð óhliðruð ef fallið f(x) er fastafallið 0.
.. index::
diffurjafna; kennijafna
Jafnan ar^2+br+c=0 kallast :hover:`kennijafna` diffurjöfnunnar ay''+by'+cy=0.
Ef föllin y_1(x) og y_2(x) eru lausnir á diffurjöfnunni ay''+by'+cy=0 þá er fallið
y(x)=Ay_1(x)+By_2(x),
þar sem A og B eru fastar, líka lausn.
Ef y_2(x) er ekki fastamargfeldi af y_1(x) þá má skrifa sérhverja lausn y(x) á diffurjöfnunni ay''+by'+cy=0 á forminu
y(x)=Ay_1(x)+By_2(x),
þar sem A og B eru fastar.
Ef leysa á annars stigs óhliðraða diffurjöfnu með fastastuðla
ay''+by'+cy=0
þá geta komið upp þrjú tilvik.
- Tilvik I
Kennijafnan ar^2+br+c=0 hefur tvær ólíkar rauntölulausnir r_1 og r_2.
Þá er fallið
y(x)=Ae^{r_1x}+Be^{r_2x}alltaf lausn sama hvernig fastarnir A og B eru valdir og sérhverja lausn má rita á þessu formi.
- Tilvik II
Kennijafnan ar^2+br+c=0 hefur bara eina rauntölulausn k=-\frac{b}{2a}.
Þá er fallið
y(x)=Ae^{kx}+Bxe^{kx}alltaf lausn sama hvernig fastarnir A og B eru valdir og sérhverja lausn má rita á þessu formi.
- Tilvik III
Kennijafnan ar^2+br+c=0 hefur engar rauntölulausnir.
Setjum k=-\frac{b}{2a} og \omega=\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}.
Rætur kennijöfnunnar eru r_1=k+i\omega og r_2=k-i\omega.
Þá er fallið
y(x)=Ae^{kx}\cos(\omega x)+Be^{kx}\sin(\omega x)alltaf lausn sama hvernig fastarnir A og B eru valdir og sérhverja lausn má rita á þessu formi.
Látum y_{\rm p}(x) vera einhverja lausn á hliðruðu jöfnunni
ay''+by'+cy=f(x).
Látum y_1(x) og y_2(x) vera lausnir sem fást úr :ref:`8.3.4 <2stigs-ohlidrud>` á óhliðruðu jöfnunni
ay''+by'+cy=0.
Sama hvernig fastarnir A og B eru valdir þá er fallið
y(x)=Ay_1(x)+By_2(x)+y_{\rm p}(x)
alltaf lausn á diffurjöfnunni ay''+by'+cy=f(x) og sérhverja lausn má skrifa á þessu formi.
Við höfum skoðað aðferðir til að leysa aðgreinanlegar diffurjöfnur, línulegar fyrsta stigs diffurjöfnur og óhliðraðar línulegar annars stigs diffurjöfnur með fastastuðla. Þessar jöfnur eru samt bara pínulítið brot af öllum mögulegum diffurjöfnum og ef við veljum diffurjöfnu af "handahófi" þá getum við yfirleitt ekki leyst hana auðveldlega.
Þrátt fyrir þetta er ástæðulaust að gefast upp og fyrir ákveðinn flokk af diffurjöfnum þá getum við stundum giskað á lausn, en þetta eru hliðraðar línulegar annars stigs diffurjöfnur með fastastuðla.
.. index::
diffurjafna; ágiskun
diffurjafna; sérlausn
Lausn á hliðruðu jöfnu ay''+by'+cy=f(x) kallast sérlausn. Stundum, ef f er ekki of flókið, þá er mögulegt að giska á sérlausn.
Látum P_n(x) standa fyrir einhverja n-ta stigs margliðu og látum A_n(x) og B_n(x) tákna n-ta stigs margliður með óákveðnum stuðlum.
- Ef f(x)=P_n(x) þá er giskað á y_{\rm p}(x)=x^mA_n(x).
- Ef f(x)=P_n(x)e^{rx} þá er giskað á y_{\rm p}(x)=x^mA_n(x)e^{rx}.
- Ef f(x)=P_n(x)e^{rx}\sin(kx) þá er giskað á y_{\rm p}(x)=x^me^{rx}[A_n(x)\cos(kx)+B_n(x)\sin(kx)].
- Ef f(x)=P_n(x)e^{rx}\cos(kx) þá er giskað á y_{\rm p}(x)=x^me^{rx}[A_n(x)\cos(kx)+B_n(x)\sin(kx)].
Hér táknar m minnstu töluna af tölunum 0, 1, 2 sem tryggir að enginn liður í ágiskuninni sé lausn á óhliðruðu jöfnunni ay''+by'+cy=0.
Ef við erum búin að finna sérlausn y_p og almenna lausn y á óhliðruðu jöfnunni ay''+by'+cy=0, þá er y+y_p áfram lausn á hliðruðu jöfnunni. Reyndar er sérhver lausn á óhliðruðu jöfnunni á forminu y+y_p, bara með mismundandi A og B í y.
.. todo::
Dæmi: sérlausn, almenn lausn og svo upphafsskilyrðum bætt við.
Jöfnur sem hægt er að rita á forminu
\frac{dy}{dx} = f(x)g(y),
má leysa með því að heilda og einangra y út úr
\int \frac 1{g(y)}\, dy = \int f(x)\, dx.
Lausn við jöfnu á forminu
y'(x) + p(x)y = q(x)
er gefin með
y(x) = e^{-\mu(x)} \int e^{\mu(x)} q(x)\, dx,
þar sem \mu(x) = \int p(x)\, dx.
Lausn á ay''+by'+cy=0 er gefin með
- Tilvik I
- y(x)=Ae^{r_1x}+Be^{r_2x} ef kennijafnan hefur tvær ólíkar rauntölulausnir r_1 og r_2.
- Tilvik II
- y(x)=Ae^{kx}+Bxe^{kx} ef kennijafnan ar^2+br+c=0 hefur bara eina tvöfalda rauntölulausn k=-\frac{b}{2a}.
- Tilvik III
- y(x)=Ae^{kx}\cos(\omega x)+Be^{kx}\sin(\omega x) ef kennijafnan ar^2+br+c=0 hefur engar rauntölulausnir, bara tvinntölulausnir r_1=k+i\omega og r_2=k-i\omega, þar sem k=-\frac{b}{2a} og \omega=\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}.
Lausn á liðruðu jöfnunni á ay''+by'+cy=f(x) er mögulega hægt að finna með :ref:`ásgiskun <Ágiskun>`. Sérhver lausn á óhliðruðu jöfnunni ay''+by'+cy=f(x) er svo á forminu y+y_p þar sem y er lausn á óhliðruðu jöfnunni.