Come on, Rory! It isn't rocket science, it's just quantum physics!
- The Doctor, Doctor Who
Opin skífa með miðju \alpha og geisla \varrho er skilgreind sem mengið
S(\alpha,\varrho)=\{z\in {\mathbb{C}}\mid |z-\alpha|<\varrho\},
lokuð skífa með miðju \alpha og geisla \varrho er mengið
\overline S(\alpha,\varrho)=\{z\in {\mathbb{C}}\mid |z-\alpha|\leq\varrho\}
og götuð opin skífa með miðju \alpha og geisla \varrho er mengið
S^*(\alpha,\varrho)=\{z\in {\mathbb{C}}\mid 0<|z-\alpha|<\varrho\}.
Hlutmengi X í {\mathbb{C}} er sagt vera opið ef um sérhvern punkt a\in X gildir að til er opin skífa S(a,r), með r>0 sem er innihaldin í X.
Hlutmengi X í {\mathbb{C}} er sagt vera lokað ef fyllimengi þess {\mathbb{C}}\setminus X er opið.
Jaðar hlutmengis X í {\mathbb{C}} samanstendur af öllum punktum a\in {\mathbb{C}} þannig að sérhver opin skífa S(a,r) með r>0 sker bæði X og {\mathbb{C}}\setminus X. Við táknum jaðar X með \partial X.
Punktur a\in {\mathbb{C}} nefnist þéttipunktur mengisins X ef um sérhvert r>0 gildir að gataða opna skífan S^*(a,r) inniheldur punkta úr X.
Opið hlutmengi í {\mathbb{C}} kallast svæði ef það er samanhangandi.
Látum X vera hlutmengi í {\mathbb{C}} og f:X\rightarrow {\mathbb{C}} vera fall. Ef a er þéttipunktur X þá segjum við að f(z) stefni á tvinntölu L þegar z stefnir á a, og ritum
\lim_{z\rightarrow a} f(z)=L
ef um sérhvert \epsilon>0 gildir að til er \delta >0 þannig að ef 0<|z-a|<\delta þá er |f(z)-L|<\epsilon.
Segjum að fallið f sé samfellt í punkti a\in X ef
\lim_{z\rightarrow a} f(z)=f(a).
Ef f og g eru tvinntölugild föll sem skilgreind eru á menginu X\subseteq {\mathbb{C}}, \lim_{z\to a}f(z)=L og \lim_{z\to a}g(z)=M, þá er
\begin{gathered}
\lim_{z\to a}(f(z)+g(z))=\lim_{z\to a}f(z)+\lim_{z\to a}g(z)=L+M,\\
\lim_{z\to a}(f(z)-g(z))=\lim_{z\to a}f(z)-\lim_{z\to a}g(z)=L-M,\\
\lim_{z\to a}(f(z)g(z))=\big(\lim_{z\to a}f(z)\big)\big(\lim_{z\to
a}g(z)\big)=LM\\
\lim_{z\to a}\dfrac{f(z)}{g(z)}=\dfrac{\lim_{z\to a}f(z)}{\lim_{z\to
a}g(z)}=\dfrac LM.\end{gathered}
Í síðustu formúlunni þarf að gera ráð fyrir að M\neq 0. Ef f og g eru föll á mengi X með gildi í {\mathbb{C}} sem eru samfelld í punktinum a\in X, þá eru föllin f+g, f-g, fg og f/g samfelld í a og
\begin{gathered}
\lim_{z\to a}(f(z)+g(z))=f(a)+g(a),\\
\lim_{z\to a}(f(z)-g(z))=f(a)-g(a),\\
\lim_{z\to a}(f(z)g(z))=f(a)g(a),\\
\lim_{z\to a}\dfrac{f(z)}{g(z)}=\dfrac{f(a)}{g(a)},
\qquad \text{ef } \ g(a)\neq 0.\end{gathered}
Ef f:X\to {\mathbb{C}} og g:Y\to {\mathbb{C}} eru föll, f(X)\subset Y, a er þéttipunkur X, b=\lim_{z\to a}f(z) er þéttipunktur mengisins Y og g er samfellt í b, þá er
\lim_{z\to a} g\circ f(z)=g(\lim_{z\to a}f(z)).
Attention!
Skilgreining 2.3 er sambærileg skilgreiningu á markgildi úr Stærðfræðigreiningu I og II og Setning 2.4 er sambærileg og reiknireglur fyrir markgildi raungildra falla í Stærðfræðigreiningu I og II.
Til samræmis við nótur Ragnars notum við annan rithátt fyrir hlutafleiður en í Stærðfræðigreiningu II. Ef f er fall af raunbreytistærðum x og y, þá skrifum við
{\partial}_xf=\dfrac{\partial f}{\partial x}, \qquad
{\partial}_yf=\dfrac{\partial f}{\partial y}, \qquad
{\partial}_x^2f=\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}, \qquad
{\partial}_{xy}^2f=\dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y}, \qquad
{\partial}_{xxy}^3f=\dfrac{\partial^3f}{\partial x^2\partial y}, \ \dots.
Ef X er opið hlutmengi í {\mathbb{C}} þá látum við C(X) tákna mengi allra samfelldra falla f:X\to {\mathbb{C}}. Við látum C^m(X) tákna mengi allra m sinnum samfellt deildanlegra falla. Hér er átt við að allar hlutafleiður fallsins f af stigi \leq m eru til og þar að auki samfelldar. Við skrifum C^0(X)=C(X) og táknum mengi óendanlega oft deildanlegra falla með C^{\infty}(X).
Látum f:X\to {\mathbb{C}} vera fall skilgreint á opnu hlutmengi X af {\mathbb{C}}. Við segjum að f sé {\mathbb{C}}–deildanlegt í punktinum a\in X ef markgildið
\lim _{\substack{ h\to 0\\ h\in{\mathbb{C}}}}
\dfrac{f(a+h)-f(a)}h \label{4.2.3}
er til. Markgildið er táknað með f'(a) og kallað {\mathbb{C}}–afleiða fallsins f í punktinum a.
Fall f:X\to {\mathbb{C}} er sagt vera fágað á opna menginu X ef f\in C^1(X) og f er {\mathbb{C}}–deildanlegt í sérhverjum punkti í X.
Við látum {\cal O}(X) tákna mengi allra fágaðra falla á X.
Við segjum að f sé fágað í punktinum a ef til er opin grennd U um a þannig að f sé fágað í U.
Fallið f er sagt vera heilt fall (e. entire function) ef það er fágað á öllu {\mathbb{C}}.
Látum f,g:X\to {\mathbb{C}} vera föll, a\in X, \alpha,\beta\in {\mathbb{C}} og gerum ráð fyrir að f og g séu {\mathbb{C}}–deildanleg í a. Þá gildir
- \alpha f+\beta g er {\mathbb{C}}–deildanlegt í a og
(\alpha f+\beta g)'(a)=\alpha f'(a)+\beta g'(a).
- (Leibniz-regla). fg er {\mathbb{C}}–deildanlegt í a og
(fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a).
- Ef g(a)\neq 0, þá er f/g {\mathbb{C}}–deildanlegt í a og
(f/g)'(a)=\dfrac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{g(a)^2}.
Látum X og Y vera opin hlutmengi af {\mathbb{C}}. Lát f:X\to {\mathbb{C}} og g:Y\to {\mathbb{C}} vera föll, þannig að f(X)\subset Y, a\in X, b\in Y, b=f(a) og setjum
h=g\circ f.
- Ef f er {\mathbb{C}}–deildanlegt í a og g er {\mathbb{C}}–deildanlegt í b, þá er h líka {\mathbb{C}}–deildanlegt í a og
h'(a)=g'(b)f'(a).
- Ef g er {\mathbb{C}}–deildanlegt í b, g'(b)\neq 0, h er {\mathbb{C}}–deildanlegt í a og f er samfellt í a, þá er f einnig {\mathbb{C}}–deildanlegt í a og
f'(a)=h'(a)/g'(b).
Látum X og Y vera opin hlutmengi af {\mathbb{C}}, og f:X\to Y vera gagntækt fall. Ef f er {\mathbb{C}}–deildanlegt í a og f'(a)\neq 0, þá er andhverfa fallið f^{[-1]} líka {\mathbb{C}}–deildanlegt í b=f(a) og
\left(f^{[-1]}\right)'(b)= \dfrac 1{f'(a)}.\label{4.2.4}
Látum f=u+iv:X\to {\mathbb{C}} vera fall af z=x+iy á opnu hlutmengi X í {\mathbb{C}}. Ef f er {\mathbb{C}}–deildanlegt í a\in X, þá eru báðar hlutafleiðurnar \partial_xf(a) og \partial_yf(a) til og
f'(a)=\partial_xf(a)=-i\partial_yf(a).
Þar með gildir Cauchy–Riemann–jafnan
\tfrac 12\big(\partial_xf(a)+i\partial_yf(a)\big)=0,
og hún jafngildir hneppinu
\partial_xu(a)=\partial_yv(a), \qquad \partial_yu(a)=-\partial_xv(a).
Við skilgreinum fyrsta stigs hlutafleiðuvirkjana {\partial}_z={\partial}/{\partial}z og {\partial}_{\bar z}={\partial}/{\partial}\bar z með
{\partial}_zf=\dfrac{{\partial}f}{{\partial} z}
=\tfrac 12\big({\partial}_xf-i{\partial}_yf\big) \quad \text{ og } \quad
{\partial}_{\bar z}f=\dfrac{{\partial}f}{{\partial}\bar z}
=\tfrac 12\big({\partial}_xf+i{\partial}_yf\big)
\label{4.2.14}
Tölurnar {\partial}_zf(a) og {\partial}_{\bar z}f(a) nefnast Wirtinger–afleiður fallsins f í punktinum a og virkinn {\partial}_{\bar z} nefnist Cauchy–Riemann–virki
Látum X vera opið hlutmengi í {\mathbb{C}}, a\in X og f:X\to {\mathbb{C}} vera fall. Þá gildir:
- f er {\mathbb{C}}–deildanlegt í a þá og því aðeins að f sé deildanlegt í a og {\partial}_{\bar z}f(a)=0. Þá er f'(a)={\partial}_zf(a).
- f er fágað í X þá og því aðeins að f sé samfellt deildanlegt í X og uppfylli Cauchy–Riemann–jöfnuna {\partial}_{\bar z}f=0 í X. Við höfum þá
f'=\dfrac{df}{dz}=\dfrac{\partial f}{\partial z}=\dfrac 12\bigg(
\dfrac{\partial f}{\partial x}-i\dfrac{\partial f}{\partial y}\bigg).
Afleiða samfellt deildanlegrar vörpunar f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2 í punkti a er línuleg vörpun Df(a):\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2. Ef við hugsum f sem vörpun {\mathbb{C}}\rightarrow{\mathbb{C}} þá er Df(a) almennt bara \mathbb{R}-línuleg vörpun en f er {\mathbb{C}}-deildanlegt í a nákvæmlega þegar Df(a) er {\mathbb{C}}-línuleg vörpun.
Veldaraðir þar sem stuðlar og breyta eru tvinntölur ,,virka‘‘ eins og veldaraðir með rauntölustuðlum og rauntölubreytu. Það eina sem þarf að breyta er að í stað samleitnibils er talað um samleitniskífu.
- Fáum í hendurnar röð \sum_{n=1}^\infty a_n þannig að a_1, a_2, \ldots eru tölur. Skilgreinum
s_n=a_1+a_2+\cdots+a_n
(summa fyrstu n liða raðarinnar). Segjum að röðin \sum_{n=1}^\infty a_n sé samleitin með summu s ef \lim_{n\rightarrow\infty}s_n=s, það er að segja, röðin er samleitin með summu s ef
\lim_{n\rightarrow \infty}(a_1+a_2+\cdots+a_n)=s.
Ritað \sum_{n=1}^\infty a_n=s.
- Um sérhverja veldaröð \sum_{n=0}^\infty a_n(z-\alpha)^n gildir eitt af þrennu:
- Röðin er aðeins samleitin fyrir z=\alpha.
- Til er jákvæð tala \varrho þannig að veldaröðin er alsamleitin fyrir öll z þannig að |z-\alpha|<\varrho og ósamleitin fyrir öll z þannig að |z-\alpha|>\varrho. Talan \varrho kallast samleitnigeisli veldaraðarinnar.
- Röðin er samleitin fyrir allar tvinntölur z.
- Stundum má reikna út samleitnigeislann með eftirfarandi aðferðum:
- Gerum ráð fyrir að L=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| sé til eða \infty. Þá hefur veldaröðin \sum_{n=0}^\infty a_n(z-\alpha)^n samleitnigeisla
\varrho=\left\{\begin{array}{ll}
\infty & \text{ef }L=0,\\
\frac{1}{L} & \text{ef }0<L<\infty,\\
0 & \text{ef }L=\infty.\\
\end{array}
\right.
- Gerum ráð fyrir að L=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|} sé til eða \infty. Þá hefur veldaröðin \sum_{n=0}^\infty a_n(z-\alpha)^n samleitnigeisla
\varrho=\left\{\begin{array}{ll}
\infty & \mbox{ef }L=0,\\
\frac{1}{L} & \mbox{ef }0<L<\infty,\\
0 & \mbox{ef }L=\infty.\\
\end{array}
\right.
Látum X\subseteq {\mathbb{C}} vera opið mengi og látum f vera fall skilgreint á X.
- (Sjá Setningu 2.3.2) Ef fyrir sérhvert \alpha\in X er til tala \varrho>0 þannig að fyrir öll z\in S(\alpha, \varrho) er
f(z)= \sum_{n=0}^\infty a_n(z-\alpha)^n
þá er fallið f fágað á X og fyrir z\in S(\alpha, \varrho) er
f'(z)= \sum_{n=1}^\infty na_n(z-\alpha)^{n-1}.
- (Sjá Setningu 2.3.5) Ef fallið f er fágað þá er til fyrir sérhvern punkt \alpha\in X tala \varrho>0 og veldaröð \sum_{n=0}^\infty a_n(z-\alpha)^n sem er alsamleitin á S(\alpha, \varrho) þannig að um alla punkta z\in S(\alpha, \varrho) gildir að f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n(z-\alpha)^n.
Ef f\in {\cal O}(X) þá er f'\in {\cal O}(X).
Gerum ráð fyrir að f,g\in {\cal O}(S(\alpha,\varrho)) séu gefin með samleitnum veldaröðum
f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n(z-\alpha)^n, \qquad
g(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty b_n(z-\alpha)^n, \qquad
z\in S(\alpha,\varrho),
og gerum ráð fyrir að til sé runa \{\alpha_j\} af ólíkum punktum í S(\alpha,\varrho) þannig að \alpha_j\to \alpha og f(\alpha_j)=g(\alpha_j) fyrir öll j. Þá er a_n=b_n fyrir öll n og þar með f(z)=g(z) fyrir öll z\in S(\alpha,\varrho).
Fyrir sérhverja tvinntölu z er
e^z=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}.
Látum X vera opið hlutmengi af {\mathbb{C}}. Samfellt fall \lambda:X\to {\mathbb{C}} kallast logri á X ef
e^{\lambda(z)}=z, \qquad z\in X.
Samfellt fall \varrho:X\to {\mathbb{C}} kallast n–ta rót á X ef
\big(\varrho(z)\big)^n=z, \qquad z\in X.
Samfellt fall \theta:X\to \mathbb{R} kallast horn á X ef
z=|z|e^{i\theta(z)}, \qquad z\in X.
- Ef \lambda er logri á X, þá er 0\not\in X, \lambda\in {\cal O}(X) og
\lambda'(z)=\frac 1z, \qquad z\in X.
Föllin \lambda(z)+i2\pi k, k\in \mathbb{Z} eru einnig lograr á X.
- Ef \lambda er logri á X, þá er
\lambda(z)=\ln |z|+i\theta(z), \qquad z\in X,
þar sem \theta:X\to \mathbb{R} er horn á X. Öfugt, ef \theta:X\to \mathbb{R} er horn á X, þá er \lambda(z)=\ln|z|+i\theta(z) logri á X.
- Ef \varrho er n–ta rót á X þá er \varrho\in {\cal O}(X) og
\varrho'(z)=\frac {\varrho(z)}{nz}, \qquad z\in X.
- Ef \lambda er logri á X, þá er \varrho(z)=e^{\lambda(z)/n} n–ta rót á X.
Fyrir sérhverja tvinntölu {\alpha} er hægt að skilgreina fágað veldisfall með veldisvísi \alpha með
z^\alpha=\exp(\alpha\lambda(z)), \qquad z\in X,
þar sem \lambda er gefinn logri á X og við fáum að
\begin{aligned}
\dfrac d{dz}z^\alpha=&\dfrac d{dz}e^{\alpha\lambda(z)}=e^{\lambda(z)}\frac
\alpha z =\alpha e^{\alpha\lambda(z)}e^{-\lambda(z)}\\
=&
\alpha e^{(\alpha-1)\lambda(z)}=\alpha z^{\alpha-1}.\end{aligned}
Ef \lambda er logri á opið mengi X\subseteq {\mathbb{C}} og \alpha \in X, þá skilgreinum við veldisvísisfall með grunntölu \alpha sem fágaða fallið á {\mathbb{C}}, sem gefið er með
\alpha^z=e^{z\lambda(\alpha)}.
Athugið að skilgreiningin er háð valinu á logranum. Keðjureglan gefur
\dfrac d{dz}\alpha^z=
\dfrac d{dz}e^{z\lambda(\alpha)}=e^{z\lambda(\alpha)}\cdot
\lambda(\alpha)=\alpha^z\lambda(\alpha).
Lítum nú á mengið X={\mathbb{C}}\setminus \mathbb{R}_-, sem fæst með því að skera neikvæða raunásinn og 0 út úr tvinntalnaplaninu. Við skilgreinum síðan pólhnit í X og veljum hornið \theta(z) þannig að -\pi<\theta(z)<\pi, z\in X. Fallið
{\operatorname{Arg}} :{\mathbb{C}}\setminus \mathbb{R}_-\to \mathbb{R}, \qquad
{\operatorname{Arg}} z=\theta(z),\quad z\in X
0 er kallað höfuðgrein hornsins og formúla þess er í grein 1.1.10 (og bók §1.2.6.2),
{\operatorname{Arg}}\, z=2\arctan\bigg(\dfrac y{|z|+x}\bigg), \qquad z=x+iy\in X.
Fallið
{\operatorname{Log}} :{\mathbb{C}}\setminus \mathbb{R}_-\to {\mathbb{C}}, \qquad
{\operatorname{Log}} z=\ln |z| +i{\operatorname{Arg}}(z),\quad z\in X,
er kallað höfuðgrein lografallsins. Fallið
z^\alpha = e^{\alpha{\operatorname{Log}} z}, \qquad z\in {\mathbb{C}}\setminus \mathbb{R}_-,
kallast höfuðgrein veldisfallsins með veldisvísi \alpha.