- 标签：树、深度优先搜索、动态规划、二叉树
- 难度：困难
描述：给定一个二叉树的根节点
要求：返回其最大路径和。
说明：
- 路径：被定义为一条节点序列，序列中每对相邻节点之间都存在一条边。同一个节点在一条路径序列中至多出现一次。该路径至少包含一个节点，且不一定经过根节点。
- 路径和：路径中各节点值的总和。
- 树中节点数目范围是
$[1, 3 * 10^4]$ 。 -
$-1000 \le Node.val \le 1000$ 。
示例：
- 示例 1：
输入：root = [1,2,3]
输出：6
解释：最优路径是 2 -> 1 -> 3 ，路径和为 2 + 1 + 3 = 6- 示例 2：
输入：root = [-10,9,20,null,null,15,7]
输出：42
解释：最优路径是 15 -> 20 -> 7 ，路径和为 15 + 20 + 7 = 42根据最大路径和中对应路径是否穿过根节点，我们可以将二叉树分为两种：
- 最大路径和中对应路径穿过根节点。
- 最大路径和中对应路径不穿过根节点。
如果最大路径和中对应路径穿过根节点，则：该二叉树的最大路径和 = 左子树中最大贡献值 + 右子树中最大贡献值 + 当前节点值。
而如果最大路径和中对应路径不穿过根节点，则：该二叉树的最大路径和 = 所有子树中最大路径和。
即：该二叉树的最大路径和 = max(左子树中最大贡献值 + 右子树中最大贡献值 + 当前节点值，所有子树中最大路径和)。
对此我们可以使用深度优先搜索递归遍历二叉树，并在递归遍历的同时，维护一个最大路径和变量
然后定义函数 def dfs(self, node): 计算二叉树中以该节点为根节点，并且经过该节点的最大贡献值。
计算的结果可能的情况有
- 经过空节点的最大贡献值等于
$0$ 。 - 经过非空节点的最大贡献值等于 当前节点值 + 左右子节点提供的最大贡献值中较大的一个。如果该贡献值为负数，可以考虑舍弃，即最大贡献值为
$0$ 。
在递归时，我们先计算左右子节点的最大贡献值，再更新维护当前最大路径和变量。最终
- 如果根节点
$root$ 为空，则返回$0$ 。 - 递归计算左子树的最大贡献值为
$left\underline{\hspace{0.5em}}max$ 。 - 递归计算右子树的最大贡献值为
$right\underline{\hspace{0.5em}}max$ 。 - 更新维护最大路径和变量，即
$self.ans = max \lbrace self.ans, \quad left\underline{\hspace{0.5em}}max + right\underline{\hspace{0.5em}}max + node.val \rbrace$ 。 - 返回以当前节点为根节点，并且经过该节点的最大贡献值。即返回 当前节点值 + 左右子节点提供的最大贡献值中较大的一个。
- 最终
$self.ans$ 即为答案。
# Definition for a binary tree node.
# class TreeNode:
# def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
# self.val = val
# self.left = left
# self.right = right
class Solution:
def __init__(self):
self.ans = float('-inf')
def dfs(self, node):
if not node:
return 0
left_max = max(self.dfs(node.left), 0) # 左子树提供的最大贡献值
right_max = max(self.dfs(node.right), 0) # 右子树提供的最大贡献值
cur_max = left_max + right_max + node.val # 包含当前节点和左右子树的最大路径和
self.ans = max(self.ans, cur_max) # 更新所有路径中的最大路径和
return max(left_max, right_max) + node.val # 返回包含当前节点的子树的最大贡献值
def maxPathSum(self, root: Optional[TreeNode]) -> int:
self.dfs(root)
return self.ans-
时间复杂度：$O(n)$，其中
$n$ 是二叉树的节点数目。 -
空间复杂度：$O(n)$。递归函数需要用到栈空间，栈空间取决于递归深度，最坏情况下递归深度为
$n$ ，所以空间复杂度为$O(n)$ 。