flow-instability.mmd

\section{研究背景与意义}

\textbf{任何事物，小到粒子，大到宇宙，都存在一定的"规律"。}

- 应用“经典牛顿力学”的理论，结合星相的观察“实践”，科学家逐渐验证并揭开天体运行的奥秘。其中，最重要的是引人了“时间”的维度。

- 法国数学家、物理学家傅里叶, 首次提出傅里叶级数，并将其应用于热传导理论与振动理论。可以说，这是稳定性理论的一次巨大尝试。


\textbf{如何刻画“规律”？ 不同学科有不同的理解。}

![](https://cdn.mathpix.com/snip/images/vBID_VhD32VufORfUomyEm7o_sz7RvfuPU5TU0b6Z04.original.fullsize.png)


\textbf{航空发动机内部的不稳定现象-“失速”或者“失稳”：}

![](https://cdn.mathpix.com/snip/images/DuWozQcGihLl8Ga59ElGaVniQduviTRP9mIN9_zj_zk.original.fullsize.png)


\textbf{简化一维（声学）模型：}
![](https://cdn.mathpix.com/snip/images/JXDHHJCGFgSuzno_-nOHoCSw3gaj6zaqyBeMeXwkmkw.original.fullsize.png)

\textbf{过渡简化带来的坏处？}

- 未考虑背景流动的影响
- 未考虑管道结构的影响
- 未考虑熵的影响
- ...

\textbf{优化的模型}
![](https://cdn.mathpix.com/snip/images/I8JocxJD1x3kGi96DlbB60ga70a7EjwSxKnqCcGsEhc.original.fullsize.png)


\textbf{目的及依然存在的问题？} 

针对不同的问题，
- 方程无法统一（线性、非线性）
- 网格无法统一（结构网格、非结构网格）
- 求解器无法统一
- 稳定性的分析方法未统一（特征值、SVD）

目标：
- 建立一套统一的流体力学稳定性分析系统
- 并应用于实际的压气机失速的模型搭建


\textbf{在失速预警中的应用}

实验：利用动模态分解方法，我们已经有效的得到失速工况下的失速特征。

仿真：

1. 结合我们自己的压气机模型进行建模、流场求解和稳定性分析 （商业软件）---》缺点：黑箱

2. 搭建有限元模型

        一维管道稳定性及敏感性分析

        二维叶栅稳定性及敏感性分析

        三维叶栅近失速稳定性及敏感性分析


\section{基本概念介绍}

\textbf{Lyapunov stability}：

首先要定义一个平衡态，之后，系统会围绕这个状态受到扰动。如果系统返回到平衡状态，则认为稳定的；如果系统偏离平衡状态系统（或者更准确地说，这个特定的平衡状态）被认为是不稳定的。在Lyapunov稳定性的定义中，一个**无限的时间**范围允许返回到平衡。


$$
\frac{d}{d t}\left(\begin{array}{l}
q_{1} \\
q_{2}
\end{array}\right)=\underbrace{\left(\begin{array}{cc}
\frac{1}{100}-\frac{1}{R e} & 0 \\
\mu & -\frac{2}{R e}
\end{array}\right)}_{\mathrm{A}}\left(\begin{array}{l}
q_{1} \\
q_{2}
\end{array}\right)
$$

$$
\mathbf{q}(t)=\exp (t \mathrm{~L}) \mathbf{q}_{0}
$$

$$
G(t)=\max _{\mathbf{q}_{0}} \frac{\|\mathbf{q}(t)\|_{E}^{2}}{\left\|\mathbf{q}_{0}\right\|_{e}^{2}}=\max _{\mathbf{q}_{0}} \frac{\left\|\exp (t \mathrm{~L}) \mathbf{q}_{0}\right\|_{E}^{2}}{\left\|\mathbf{q}_{0}\right\|_{F}^{2}}=\|\exp (t \mathrm{~L})\|_{E}^{2}
$$


\textbf{全局稳定性分析方法}

我们来考虑N-S方程的统一动力学形式：
$$
{\partial q\over \partial t} =N(q)
$$
N 是 Navier-Stokes operator.

定义base flow
$$
N(q_b)=0
$$
线性化处理：
$$
q'=q-q_b
$$

$$
{\partial q'\over \partial t}=L(q_b)q'
$$

得到线化的N-S方程

$$
L(q_b)={\partial N \over \partial q}|_{q_b}
$$


用基函数去近似参数，求特征值


$$
q'=\hat{q}e^{\lambda t}
$$

代入后得到:
$$
L(q_b)\hat{q}=\lambda\hat{q}
$$


相应的特征值表征了$q_b$的稳定性：如果一个特征值 $\lambda_i$ 有一个正的实部 $\delta_i = real(\lambda_i)$ （正增长率），那么基流是不稳定的。虚部是指频率为$w_i$的振荡模式。


\textbf{敏感性分析}

另一种全局方法，被称为预解分析，包括研究外部作用力对baseflow的影响流动而不是专注于自我维持的振荡。类似在机械振动领域的谐波激励下的稳态响应。这个提法最初Trefethen引入，1993.

Resolvent analysis最早应用是在稳定性和转捩中的nonmetal analysis中运用。例如在寻找线性方程组的矩阵时间指数的范数，对transient growth的研究，e-pseudospectra, 以及定义线性NS在对外部forcing最大反馈的比例。

基本形式可以写成：
$$
{\partial q'\over \partial t}=L(q_b)q' + f 
$$

$$
f = \hat{f}e^{iwt} 
$$
$$
q = \hat{q}e^{iwt}
$$
代入上式可得：
$$
\hat{q}= R\hat{f} \\\\
R=(iwI-L(q_b))^{-1}
$$
R 被称为resolvent operator, 或者叫放大因子。


优化f得到最大能量增益：

$$
G(\hat{f})={||R\hat{f}||^2\over ||\hat{f}||^2}
$$