-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
tour_04.tex
245 lines (184 loc) · 9.57 KB
/
tour_04.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
%!TEX TS-program = xelatex
%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
%\newcommand{\LastChange}{Time-stamp: "2014-07-09 15:59:43 aga SeminarProblems.tex"}
% \usepackage[colorinlistoftodos]{todonotes}
\usepackage[colorlinks=true, allcolors=blue]{hyperref}
%\usepackage{euler}
%\usepackage{xltxtra} % loads: fixltx2e, metalogo, xunicode, fontspec
% \usepackage{multicol} % many columns
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm}
\usepackage{fullpage}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{bm}
\usepackage{multicol} % текст в несколько колонок
\usepackage{marvosym} % значок мужского туалета
%\usepackage{enumerate}
\usepackage{textcomp} % text in formulas
%\usepackage{paralist}
\usepackage{enumitem} % more options for lists
\usepackage{tikz} % картинки
\usetikzlibrary{arrows.meta, quotes, angles} % tikz-прибамбас для рисовки стрелочек подлиннее
\usepackage[includehead, top=0.5cm, bottom=0.5cm, left=1cm, right=1cm]{geometry}
\usepackage{fontspec} % что-то про шрифты?
\usepackage{polyglossia} % русификация xelatex
\setmainlanguage{russian}
\setotherlanguages{english}
% download "Linux Libertine" fonts:
% http://www.linuxlibertine.org/index.php?id=91&L=1
\setmainfont{Linux Libertine O} % or Helvetica, Arial, Cambria
% why do we need \newfontfamily:
% http://tex.stackexchange.com/questions/91507/
\newfontfamily{\cyrillicfonttt}{Linux Libertine O}
\defaultfontfeatures{Mapping=tex-text}
\AddEnumerateCounter{\asbuk}{\russian@alph}{щ} % для списков с русскими буквами
\setlist[enumerate, 2]{label=\asbuk*),ref=\asbuk*}
%\setmainfont{Times New Roman}
%\setmainfont{Arial}
%\setmainfont{PT Sans}
%\setlength{\topmargin}{0in}
%\setlength{\headheight}{0cm}
%\setlength{\headsep}{0in}
%\setlength{\oddsidemargin}{-0.5in}
%\setlength{\evensidemargin}{-0.5in}
%\setlength{\textwidth}{7.5in}
%\setlength{\textheight}{9.0in}
% \newcommand{\staritem}{\refstepcounter{enumi}\item[\bf *\theenumi.]}
% \newcommand{\bsym}{\boldsymbol}
%\newcommand{\FigWidth}{0.3\columnwidth}
\newtheoremstyle{break}% name
{}% Space above, empty = `usual value'
{1pt}% Space below
{}% Body font
{}% Indent amount (empty = no indent, \parindent = para indent)
{\bfseries}% Thm head font
{.}% Punctuation after thm head
{\newline}% Space after thm head: \newline = linebreak
{}% Thm head spec
\theoremstyle{break}
\newtheorem{problem}{Задача}[subsection]
\renewcommand{\theproblem}{\arabic{problem}}% Remove subsection from the counter representation
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection*{Четвёртый Тур}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{problem}
Основания трапеции равны $2$ и $10$. Построены вписанная и описанная окружности.
Чему равен радиус вписанной окружности?
\end{problem}
\begin{problem}
% \begin{multicols}{2}
Брусок массы $3m$ налетает со скоростью $v$ на два неподвижных бруска массами $m$, $2m$
и стену, расположенных как показано на рисунке. Бруски с массами $m$ и $2m$
сторонами обращёнными друг к другу смазаны клеем, остальные столкновения абсолютно
упругие.
\begin{minipage}{0.8\textwidth}
\begin{center}
\resizebox{8.0cm}{2cm}{
\begin{tikzpicture}
\draw (-8,0) -- (8,0);
\draw[line width = 2] (-6,0) -- (-6,2) -- (-4,2) node[midway, above]{\fontsize{40}{48} \selectfont $3m$} -- (-4,0) -- (-6,0);
\draw[line width = 2] (-2,0) -- (-2,2) -- (0,2) node[midway, above]{\fontsize{40}{48} \selectfont $m$} -- (0,0) -- (-2,0);
\draw[line width = 2] (2,0) -- (2,2) -- (4,2) node[midway, above]{\fontsize{40}{48} \selectfont $2m$} -- (4,0) -- (2,0);
\draw[line width = 7] (6,0) -- (6,5);
\draw[line width = 1, -{Latex[length=5mm, width=2mm]}] (-5,1) -- (-3,1) node[above]{\fontsize{40}{48} \selectfont $v$};
\draw[line width = 5, dashed] (0,2) -- (0,0);
\draw[line width = 5, dashed] (2,0) -- (2,2);
\end{tikzpicture}
}
\end{center}
\end{minipage}
Чему равна скорость бруска массы $3m$ после всех столкновений брусков друг с другом?
Дорогой друг, трением разрешаю тебе пренебречь! Твой главный судья $\heartsuit$.
% \end{multicols}
\end{problem}
\begin{problem}
Два числа назовём соседними, если они различаются только одной цифрой
в каком-то из разрядов. Например, 123 и 153 — соседние. Какое наибольшее количество
трёхзначных чисел можно выписать так, чтобы среди них не было соседних?
\end{problem}
\begin{problem}
\begin{multicols}{2}
Зондера Щукин и Лебедев тянут воз со скоростью $v$,
каждый в своём направлении. Верёвки от зондеров до воза нерастяжимые и имеют одинаковую длину.
Чему равна величина скорости воза в момент, когда угол между Щукиным,
возом и Лебедевым равен $\alpha$?
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (-3,0);
\coordinate (B) at (2,1);
\coordinate (C) at (2,-1);
\filldraw (-3,0) circle (2pt) node[above]{Воз} -- (2, 1) circle (2pt) node[above]{Лебедев};
\draw[line width = 1, -{Latex[length=5mm, width=2mm]}] (2,1) -- (3,1.2) node[below]{$v$};
\filldraw (-3,0) -- (2, -1) circle (2pt) node[below]{Щукин};
\draw[line width = 1, -{Latex[length=5mm, width=2mm]}] (2,-1) -- (3,-1.2) node[above]{$v$};
\draw (-2, -0.2) arc (-30:19:0.5) node[right = 7, below]{$\alpha$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\end{multicols}
\end{problem}
\subsection*{Четвёртый Тур}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setcounter{problem}{0}
\begin{problem}
Основания трапеции равны $2$ и $10$. Построены вписанная и описанная окружности.
Чему равен радиус вписанной окружности?
\end{problem}
\begin{problem}
% \begin{multicols}{2}
Брусок массы $3m$ налетает со скоростью $v$ на два неподвижных бруска массами $m$, $2m$
и стену, расположенных как показано на рисунке. Бруски с массами $m$ и $2m$
сторонами обращёнными друг к другу смазаны клеем, остальные столкновения абсолютно
упругие.
\begin{minipage}{0.8\textwidth}
\begin{center}
\resizebox{8.0cm}{2cm}{
\begin{tikzpicture}
\draw (-8,0) -- (8,0);
\draw[line width = 2] (-6,0) -- (-6,2) -- (-4,2) node[midway, above]{\fontsize{40}{48} \selectfont $3m$} -- (-4,0) -- (-6,0);
\draw[line width = 2] (-2,0) -- (-2,2) -- (0,2) node[midway, above]{\fontsize{40}{48} \selectfont $m$} -- (0,0) -- (-2,0);
\draw[line width = 2] (2,0) -- (2,2) -- (4,2) node[midway, above]{\fontsize{40}{48} \selectfont $2m$} -- (4,0) -- (2,0);
\draw[line width = 7] (6,0) -- (6,5);
\draw[line width = 1, -{Latex[length=5mm, width=2mm]}] (-5,1) -- (-3,1) node[above]{\fontsize{40}{48} \selectfont $v$};
\draw[line width = 5, dashed] (0,2) -- (0,0);
\draw[line width = 5, dashed] (2,0) -- (2,2);
\end{tikzpicture}
}
\end{center}
\end{minipage}
Чему равна скорость бруска массы $3m$ после всех столкновений брусков друг с другом?
Дорогой друг, трением разрешаю тебе пренебречь! Твой главный судья $\heartsuit$.
% \end{multicols}
\end{problem}
\begin{problem}
Два числа назовём соседними, если они различаются только одной цифрой
в каком-то из разрядов. Например, 123 и 153 — соседние. Какое наибольшее количество
трёхзначных чисел можно выписать так, чтобы среди них не было соседних?
\end{problem}
\begin{problem}
\begin{multicols}{2}
Зондера Щукин и Лебедев тянут воз со скоростью $v$,
каждый в своём направлении. Верёвки от зондеров до воза нерастяжимые и имеют одинаковую длину.
Чему равна величина скорости воза в момент, когда угол между Щукиным,
возом и Лебедевым равен $\alpha$?
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (-3,0);
\coordinate (B) at (2,1);
\coordinate (C) at (2,-1);
\filldraw (-3,0) circle (2pt) node[above]{Воз} -- (2, 1) circle (2pt) node[above]{Лебедев};
\draw[line width = 1, -{Latex[length=5mm, width=2mm]}] (2,1) -- (3,1.2) node[below]{$v$};
\filldraw (-3,0) -- (2, -1) circle (2pt) node[below]{Щукин};
\draw[line width = 1, -{Latex[length=5mm, width=2mm]}] (2,-1) -- (3,-1.2) node[above]{$v$};
\draw (-2, -0.2) arc (-30:19:0.5) node[right = 7, below]{$\alpha$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\end{multicols}
\end{problem}
\end{document}