第14章利用SVD简化数据

SVD 概述

奇异值分解（SVD, Singular Value Decomposition）:
    提取信息的一种方法，可以把 SVD 看成是从噪声数据中抽取相关特征。从生物信息学到金融学，SVD 是提取信息的强大工具。

SVD 场景

信息检索-隐性语义检索（Latent Semantic Indexing, LSI）或隐形语义分析（Latent Semantic Analysis, LSA）

隐性语义索引：矩阵 = 文档 + 词语

是最早的 SVD 应用之一，我们称利用 SVD 的方法为隐性语义索引（LSI）或隐性语义分析（LSA）。

推荐系统

利用 SVD 从数据中构建一个主题空间。
再在该空间下计算其相似度。(从高维-低维空间的转化，在低维空间来计算相似度，SVD 提升了推荐系统的效率。)

上图右边标注的为一组共同特征，表示美式 BBQ 空间；另一组在上图右边未标注的为日式食品空间。

图像压缩

例如：32*32=1024 => 32*2+2*1+32*2=130(2*1表示去掉了除对角线的0), 几乎获得了10倍的压缩比。

SVD 原理

SVD 工作原理

矩阵分解

矩阵分解是将数据矩阵分解为多个独立部分的过程。
矩阵分解可以将原始矩阵表示成新的易于处理的形式，这种新形式是两个或多个矩阵的乘积。（类似代数中的因数分解）
举例：如何将12分解成两个数的乘积？（1，12）、（2，6）、（3，4）都是合理的答案。

SVD 是矩阵分解的一种类型，也是矩阵分解最常见的技术

SVD 将原始的数据集矩阵 Data 分解成三个矩阵 U、∑、V
举例：如果原始矩阵 \(Data_{m*n}\) 是m行n列，
- \(U_{m * k}\) 表示m行k列
- \(∑_{k * k}\) 表示k行k列
- \(V_{k * n}\) 表示k行n列。

\(Data_{m*n} = U_{m*k} * ∑_{k*k} * V_{k*n}\)

具体的案例：（大家可以试着推导一下：https://wenku.baidu.com/view/b7641217866fb84ae45c8d17.html ）

上述分解中会构建出一个矩阵∑，该矩阵只有对角元素，其他元素均为0(近似于0)。另一个惯例就是，∑的对角元素是从大到小排列的。这些对角元素称为奇异值。
奇异值与特征值(PCA 数据中重要特征)是有关系的。这里的奇异值就是矩阵 \(Data * Data^T\) 特征值的平方根。
普遍的事实：在某个奇异值的数目(r 个=>奇异值的平方和累加到总值的90%以上)之后，其他的奇异值都置为0(近似于0)。这意味着数据集中仅有 r 个重要特征，而其余特征则都是噪声或冗余特征。

SVD 算法特点

优点：简化数据，去除噪声，优化算法的结果
缺点：数据的转换可能难以理解
使用的数据类型：数值型数据

推荐系统

项目案例: 餐馆菜肴推荐系统

项目概述

假如一个人在家决定外出吃饭，但是他并不知道该到哪儿去吃饭，该点什么菜。推荐系统可以帮他做到这两点。

开发流程

收集并准备数据

def loadExData3():
    # 利用SVD提高推荐效果，菜肴矩阵
    """
    行：代表人
    列：代表菜肴名词
    值：代表人对菜肴的评分，0表示未评分
    """
    return[[2, 0, 0, 4, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
           [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 5],
           [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 4, 0],
           [3, 3, 4, 0, 3, 0, 0, 2, 2, 0, 0],
           [5, 5, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
           [0, 0, 0, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 5, 0],
           [4, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 5],
           [0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 4],
           [0, 0, 0, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 5, 0],
           [0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 4, 5, 0],
           [1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 0, 4, 5, 0]]

分析数据: 这里不做过多的讨论(当然此处可以对比不同距离之间的差别)

训练算法: 通过调用 recommend() 函数进行推荐

recommend() 会调用基于物品相似度或者是基于SVD，得到推荐的物品评分。

1.基于物品相似度

# 基于物品相似度的推荐引擎
def standEst(dataMat, user, simMeas, item):
    """standEst(计算某用户未评分物品中，以对该物品和其他物品评分的用户的物品相似度，然后进行综合评分)

    Args:
        dataMat         训练数据集
        user            用户编号
        simMeas         相似度计算方法
        item            未评分的物品编号
    Returns:
        ratSimTotal/simTotal     评分（0～5之间的值）
    """
    # 得到数据集中的物品数目
    n = shape(dataMat)[1]
    # 初始化两个评分值
    simTotal = 0.0
    ratSimTotal = 0.0
    # 遍历行中的每个物品（对用户评过分的物品进行遍历，并将它与其他物品进行比较）
    for j in range(n):
        userRating = dataMat[user, j]
        # 如果某个物品的评分值为0，则跳过这个物品
        if userRating == 0:
            continue
        # 寻找两个用户都评级的物品
        # 变量 overLap 给出的是两个物品当中已经被评分的那个元素的索引ID
        # logical_and 计算x1和x2元素的真值。
        overLap = nonzero(logical_and(dataMat[:, item].A > 0, dataMat[:, j].A > 0))[0]
        # 如果相似度为0，则两着没有任何重合元素，终止本次循环
        if len(overLap) == 0:
            similarity = 0
        # 如果存在重合的物品，则基于这些重合物重新计算相似度。
        else:
            similarity = simMeas(dataMat[overLap, item], dataMat[overLap, j])
        # print 'the %d and %d similarity is : %f'(iten,j,similarity)
        # 相似度会不断累加，每次计算时还考虑相似度和当前用户评分的乘积
        # similarity  用户相似度，   userRating 用户评分
        simTotal += similarity
        ratSimTotal += similarity * userRating
    if simTotal == 0:
        return 0
    # 通过除以所有的评分总和，对上述相似度评分的乘积进行归一化，使得最后评分在0~5之间，这些评分用来对预测值进行排序
    else:
        return ratSimTotal/simTotal

2.基于SVD(参考地址：http://www.codeweblog.com/svd-%E7%AC%94%E8%AE%B0/)

# 基于SVD的评分估计
# 在recommend() 中，这个函数用于替换对standEst()的调用，该函数对给定用户给定物品构建了一个评分估计值
def svdEst(dataMat, user, simMeas, item):
    """svdEst(计算某用户未评分物品中，以对该物品和其他物品评分的用户的物品相似度，然后进行综合评分)

    Args:
        dataMat         训练数据集
        user            用户编号
        simMeas         相似度计算方法
        item            未评分的物品编号
    Returns:
        ratSimTotal/simTotal     评分（0～5之间的值）
    """
    # 物品数目
    n = shape(dataMat)[1]
    # 对数据集进行SVD分解
    simTotal = 0.0
    ratSimTotal = 0.0
    # 奇异值分解
    # 在SVD分解之后，我们只利用包含了90%能量值的奇异值，这些奇异值会以NumPy数组的形式得以保存
    U, Sigma, VT = la.svd(dataMat)

    # # 分析 Sigma 的长度取值
    # analyse_data(Sigma, 20)

    # 如果要进行矩阵运算，就必须要用这些奇异值构建出一个对角矩阵
    Sig4 = mat(eye(4) * Sigma[: 4])
    # 利用U矩阵将物品转换到低维空间中，构建转换后的物品(物品+4个主要的特征)
    xformedItems = dataMat.T * U[:, :4] * Sig4.I
    # 对于给定的用户，for循环在用户对应行的元素上进行遍历，
    # 这和standEst()函数中的for循环的目的一样，只不过这里的相似度计算时在低维空间下进行的。
    for j in range(n):
        userRating = dataMat[user, j]
        if userRating == 0 or j == item:
            continue
        # 相似度的计算方法也会作为一个参数传递给该函数
        similarity = simMeas(xformedItems[item, :].T, xformedItems[j, :].T)
        # for 循环中加入了一条print语句，以便了解相似度计算的进展情况。如果觉得累赘，可以去掉
        print 'the %d and %d similarity is: %f' % (item, j, similarity)
        # 对相似度不断累加求和
        simTotal += similarity
        # 对相似度及对应评分值的乘积求和
        ratSimTotal += similarity * userRating
    if simTotal == 0:
        return 0
    else:
        # 计算估计评分
        return ratSimTotal/simTotal

排序获取最后的推荐结果

# recommend()函数，就是推荐引擎，它默认调用standEst()函数，产生了最高的N个推荐结果。
# 如果不指定N的大小，则默认值为3。该函数另外的参数还包括相似度计算方法和估计方法
def recommend(dataMat, user, N=3, simMeas=cosSim, estMethod=standEst):
    # 寻找未评级的物品
    # 对给定的用户建立一个未评分的物品列表
    unratedItems = nonzero(dataMat[user, :].A == 0)[1]
    # 如果不存在未评分物品，那么就退出函数
    if len(unratedItems) == 0:
        return 'you rated everything'
    # 物品的编号和评分值
    itemScores = []
    # 在未评分物品上进行循环
    for item in unratedItems:
        estimatedScore = estMethod(dataMat, user, simMeas, item)
        # 寻找前N个未评级物品，调用standEst()来产生该物品的预测得分，该物品的编号和估计值会放在一个元素列表itemScores中
        itemScores.append((item, estimatedScore))
        # 按照估计得分，对该列表进行排序并返回。列表逆排序，第一个值就是最大值
    return sorted(itemScores, key=lambda jj: jj[1], reverse=True)[: N]

测试和项目调用，可直接参考我们的代码

完整代码地址: https://github.com/apachecn/AiLearning/blob/master/src/py2.x/ml/14.SVD/svdRecommend.py

要点补充

基于内容(content-based)的推荐

通过各种标签来标记菜肴
将这些属性作为相似度计算所需要的数据
这就是：基于内容的推荐。

构建推荐引擎面临的挑战

问题

1）在大规模的数据集上，SVD分解会降低程序的速度
2）存在其他很多规模扩展性的挑战性问题，比如矩阵的表示方法和计算相似度得分消耗资源。
3）如何在缺乏数据时给出好的推荐-称为冷启动【简单说：用户不会喜欢一个无效的物品，而用户不喜欢的物品又无效】

建议

1）在大型系统中，SVD分解(可以在程序调入时运行一次)每天运行一次或者其频率更低，并且还要离线运行。
2）在实际中，另一个普遍的做法就是离线计算并保存相似度得分。(物品相似度可能被用户重复的调用)
3）冷启动问题，解决方案就是将推荐看成是搜索问题，通过各种标签／属性特征进行基于内容的推荐。

项目案例: 基于 SVD 的图像压缩

收集并准备数据

将文本数据转化为矩阵

# 加载并转换数据
def imgLoadData(filename):
    myl = []
    # 打开文本文件，并从文件以数组方式读入字符
    for line in open(filename).readlines():
        newRow = []
        for i in range(32):
            newRow.append(int(line[i]))
        myl.append(newRow)
    # 矩阵调入后，就可以在屏幕上输出该矩阵
    myMat = mat(myl)
    return myMat

分析数据: 分析 Sigma 的长度个数

通常保留矩阵 80% ～ 90% 的能量，就可以得到重要的特征并去除噪声。

def analyse_data(Sigma, loopNum=20):
    """analyse_data(分析 Sigma 的长度取值)

    Args:
        Sigma         Sigma的值
        loopNum       循环次数
    """
    # 总方差的集合（总能量值）
    Sig2 = Sigma**2
    SigmaSum = sum(Sig2)
    for i in range(loopNum):
        SigmaI = sum(Sig2[:i+1])
        '''
        根据自己的业务情况，就行处理，设置对应的 Singma 次数

        通常保留矩阵 80% ～ 90% 的能量，就可以得到重要的特征并取出噪声。
        '''
        print '主成分：%s, 方差占比：%s%%' % (format(i+1, '2.0f'), format(SigmaI/SigmaSum*100, '4.2f'))

使用算法: 对比使用 SVD 前后的数据差异对比，对于存储大家可以试着写写

例如：32*32=1024 => 32*2+2*1+32*2=130(2*1表示去掉了除对角线的0), 几乎获得了10倍的压缩比。

# 打印矩阵
def printMat(inMat, thresh=0.8):
    # 由于矩阵保护了浮点数，因此定义浅色和深色，遍历所有矩阵元素，当元素大于阀值时打印1，否则打印0
    for i in range(32):
        for k in range(32):
            if float(inMat[i, k]) > thresh:
                print 1,
            else:
                print 0,
        print ''


# 实现图像压缩，允许基于任意给定的奇异值数目来重构图像
def imgCompress(numSV=3, thresh=0.8):
    """imgCompress( )

    Args:
        numSV       Sigma长度   
        thresh      判断的阈值
    """
    # 构建一个列表
    myMat = imgLoadData('data/14.SVD/0_5.txt')

    print "****original matrix****"
    # 对原始图像进行SVD分解并重构图像e
    printMat(myMat, thresh)

    # 通过Sigma 重新构成SigRecom来实现
    # Sigma是一个对角矩阵，因此需要建立一个全0矩阵，然后将前面的那些奇异值填充到对角线上。
    U, Sigma, VT = la.svd(myMat)
    # SigRecon = mat(zeros((numSV, numSV)))
    # for k in range(numSV):
    #     SigRecon[k, k] = Sigma[k]

    # 分析插入的 Sigma 长度
    analyse_data(Sigma, 20)

    SigRecon = mat(eye(numSV) * Sigma[: numSV])
    reconMat = U[:, :numSV] * SigRecon * VT[:numSV, :]
    print "****reconstructed matrix using %d singular values *****" % numSV
    printMat(reconMat, thresh)

完整代码地址: https://github.com/apachecn/AiLearning/blob/master/src/py2.x/ml/14.SVD/svdRecommend.py

作者：片刻 1988
GitHub地址: https://github.com/apachecn/AiLearning
版权声明：欢迎转载学习 => 请标注信息来源于 ApacheCN

Provide feedback

Saved searches

Use saved searches to filter your results more quickly

14.利用SVD简化数据.md

14.利用SVD简化数据.md

第14章利用SVD简化数据

SVD 概述

SVD 场景

SVD 原理

SVD 工作原理

SVD 算法特点

推荐系统

推荐系统概述

推荐系统场景

推荐系统要点

推荐系统原理

项目案例: 餐馆菜肴推荐系统

项目概述

开发流程

要点补充

项目案例: 基于 SVD 的图像压缩

Files

14.利用SVD简化数据.md

Latest commit

History

14.利用SVD简化数据.md

File metadata and controls

第14章 利用SVD简化数据

SVD 概述

SVD 场景

SVD 原理

SVD 工作原理

SVD 算法特点

推荐系统

推荐系统 概述

推荐系统 场景

推荐系统 要点

推荐系统 原理

项目案例: 餐馆菜肴推荐系统

项目概述

开发流程

要点补充

项目案例: 基于 SVD 的图像压缩

第14章利用SVD简化数据

推荐系统概述

推荐系统场景

推荐系统要点

推荐系统原理