-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 2
/
jordan-form.tex
1935 lines (1813 loc) · 122 KB
/
jordan-form.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
851
852
853
854
855
856
857
858
859
860
861
862
863
864
865
866
867
868
869
870
871
872
873
874
875
876
877
878
879
880
881
882
883
884
885
886
887
888
889
890
891
892
893
894
895
896
897
898
899
900
901
902
903
904
905
906
907
908
909
910
911
912
913
914
915
916
917
918
919
920
921
922
923
924
925
926
927
928
929
930
931
932
933
934
935
936
937
938
939
940
941
942
943
944
945
946
947
948
949
950
951
952
953
954
955
956
957
958
959
960
961
962
963
964
965
966
967
968
969
970
971
972
973
974
975
976
977
978
979
980
981
982
983
984
985
986
987
988
989
990
991
992
993
994
995
996
997
998
999
1000
\section{Жорданова нормальная форма}\label{subsect:jordan_form}
Пусть $U,V$~--- конечномерные пространства над $k$.
В прошлой главе мы выяснили, что для линейного отображения $T\colon
U\to V$ можно выбрать базисы в $U$ и в $V$ так, что матрица $\ph$ в
этих базисах будет окаймленной единичной.
Пусть теперь $T\colon V\to V$~--- линейное отображение из
пространства в себя. Мы будем называть его \dfn{линейным
оператором}\index{оператор!линейный} (или
просто \dfn{оператором}\index{оператор}) на $V$.
Не очень-то удобно выбирать два разных базиса в
одном и том же пространстве $V$ для записи матрицы линейного
оператора. Пусть $\mc B$~--- базис пространства $V$.
\dfn{Матрицей оператора}\index{матрица!оператора} $T\colon V\to V$ в
базисе $\mc B$ называется
матрица отображения $T$ в базисах $\mc B$, $\mc B$.
Мы будем обозначать ее через $[T]_{\mc B}$ вместо $[T]_{\mc B,\mc B}$.
Цель настоящей главы~--- выяснить, к какому наиболее простому виду
можно привести матрицу
оператора $T$ с помощью выбора базиса в $V$.
По теореме~\ref{thm_matrix_under_change_of_bases} при замене базиса
$\mc B$ на $\mc B'$ матрица оператора $T$ домножается справа на матрицу
замены базиса и слева на обратную к ней. Таким образом, если
$A=[T]_{\mc B}$, $A'=[T]_{\mc B'}$, $C$~--- матрица перехода от $\mc
B$ к $\mc B'$, то $A'=C^{-1}AC$. Эта процедура называется
\dfn{сопряжением}\index{сопряжение!матрицы}: говорят, что
$C^{-1}AC$~--- матрица, \dfn{сопряженная} к матрице $A$ при помощи
$C$.
В этой главе нас будет интересовать вопрос: к какому хорошему виду
можно привести матрицу произвольного линейного оператора? В отличие от
случая линейного отображения, рассчитывать на окаймленный единичный
вид уже не приходится. Тем не менее, мы получим достаточно разумный
ответ на этот вопрос. Можно сформулировать эту задачу на матричном
языке: в прошлой главе мы видели, что с помощью домножения слева и
справа на обратимые матрицы любую матрицу можно привести к окаймленной
единичной форме; а к какому виду можно привести квадратную матрицу с
помощью сопряжения?
Мы будем предполагать в этой главе, что все встречающиеся нам
векторные пространства конечномерны.
\subsection{Инвариантные подпространства и собственные числа}
\literature{[F], гл. XII, \S~6, п. 1; гл. IV, \S~6, п. 1; [K2], гл. 2,
\S~3, п. 3; [KM], ч. 1, \S~8; [vdW], гл. XII, \S~88.}
Первая идея для изучения операторов на пространстве состоит
в следующем: можно попытаться посмотреть на то, что происходит
в собственном подпространстве $U$ оператора $V$, решить вопрос для него
(что проще, поскольку размерность $U$ меньше размерности $V$),
а потом попробовать <<подняться>> в пространство $V$.
Пусть $T\colon V\to V$~--- линейный оператор, $U\leq V$~--- некоторое
подпространство. Проблема состоит в том, что ограничение
$T|_U$ действует из $U$ в $V$ и уже не является линейным оператором!
Опишем подпространства, для которых такого не происходит.
\begin{definition}
Пусть $T\colon V\to V$~--- линейный оператор на пространстве $V$.
Подпространство $U\leq V$ называется \dfn{инвариантным} относительно
оператора $T$ (или \dfn{$T$-инвариантным}), если
$T(U)\subseteq U$. Иными словами: для любого $u\in U$ образ
$T(u)$ также лежит в $U$.
\end{definition}
\begin{example}
Можно привести тривиальные примеры: подпространства $0\leq V$
и $V\leq V$ инвариантны относительно любого линейного оператора
на $V$.
\end{example}
Самый простой пример инвариантного подпространства возникает, когда
это подпространство одномерно. Тогда $U$ порождается одним ненулевым
вектором $u\in U$, и для $T$-инвариантности $U$ достаточно потребовать,
чтобы образ $T(u)$ лежал в $U$, то есть, имел вид $u\lambda$ для
некоторого $\lambda\in k$
\begin{definition}
Пусть $T\colon V\to V$~--- линейный оператор.
Скаляр $\lambda\in k$ называется \dfn{собственным числом} оператора
$T$, если существует ненулевой вектор $u\in V$ такой, что
$T(u) = u\lambda$. В этом случае $u$ называется
\dfn{собственным вектором} оператора $T$ (соответствующим
собственному числу $\lambda$).
\end{definition}
Полезны следующие эквивалентные переформулировки понятия
собственного числа.
\begin{proposition}\label{prop:eigenvalue-alternative-defs}
Пусть $T\colon V\to V$~--- линейный оператор, $\lambda\in k$.
Следующие утверждения равносильны:
\begin{enumerate}
\item $\lambda$~--- собственное число оператора $T$;
\item оператор $T-\lambda\id_V$ неинъективен;
\item оператор $T-\lambda\id_V$ несюръективен;
\item оператор $T-\lambda\id_V$ необратим.
\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof}
Если $\lambda$~--- собственное число $T$, то $(T-\id_V\lambda)(u)=0$
для некоторого ненулевого $u\in V$, и потому $T-\id_V\lambda$
неинъективен. Обратно, неинъективность $T-\id_V\lambda$ означает,
что $\Ker(T-\id_V\lambda)\neq 0$, и если $u$~--- ненулевой вектор из
этого ядра, то $T(u) = u\lambda$, что и означает, что $\lambda$~---
собственное число $T$.
Равносильность утверждений (2), (3), (4) сразу следует из
предложения~\ref{prop:operators-bij-inj-surj}.
\end{proof}
Таким образом, собственные числа оператора $T$~--- это в точности
те скаляры $\lambda$, для которых оператор $T-\id_V\lambda$
имеет нетривиальное ядро, а соответствующие собственные векторы~---
это в точности ненулевые элементы этого ядра.
\begin{theorem}\label{thm:eigenvectors-are-independent}
Пусть $T\colon V\to V$~--- линейный оператор,
$v_1,\dots,v_n\in V$~--- собственные векторы, соответствующие
попарно различным собственным числам $\lambda_1,\dots,\lambda_n\in k$.
Тогда векторы $v_1,\dots,v_n$ линейно независимы.
\end{theorem}
\begin{proof}
Будем доказывать от противного: пусть $v_1,\dots,v_n$ линейно зависиым.
По лемме~\ref{lemma:linear-dependence-lemma} найдется индекс
$j$ такой, что $v_j$ выражается через $v_1,\dots,v_{j-1}$.
Выберем наименьший из таких индексов $j$ и запишем полученную
линейную зависимость:
$$
v_j = v_1a_1 + \dots + v_{j-1}a_{j-1}.
$$
Применим оператор $T$ к обеим частям этого равенства:
$$
T(v_j) = T(v_1)a_1 + \dots + T(v_{j-1})a_{j-1}.
$$
Мы знаем, что $T(v_i) = v_i\lambda_i$ для всех $i=1,\dots,n$, потому
$$
v_j\lambda_j = v_1\lambda_1a_1 + \dots + v_{j-1}\lambda_{j-1}a_{j-1}.
$$
С другой стороны, мы можем умножить исходную линейную зависимость
на $\lambda_j$:
$$
v_j\lambda_j = v_1\lambda_j a_1 + \dots + v_{j-1}\lambda_j a_{j-1}.
$$
Вычтем два последних равенства:
$$
0 = v_1(\lambda_1-\lambda_j)a_1 + \dots +
v_{j-1}(\lambda_{j-1}-\lambda_j)a_{j-1}.
$$
В силу нашего выбора $j$ векторы $v_1,\dots,v_{j-1}$ линейно независимы.
Поэтому в полученном выражении все коэффициенты
$(\lambda_i-\lambda_j)a_i$ должны быть нулевыми. Но скаляры
$\lambda_i$ попарно различны, потому $\lambda_j-\lambda_j\neq 0$
при всех $i=1,\dots,j-1$. Значит, $a_i=0$ для $i=1,\dots,j-1$. Подставляя
в исходную линейную комбинацию, получаем, что $v_j=0$,
что противоречит определению собственного вектора.
\end{proof}
\begin{corollary}
Количество различных собственных чисел оператора на пространстве $V$
не превосходит $\dim(V)$.
\end{corollary}
\begin{proof}
Если нашлось больше, чем $\dim(V)$, различных собственных чисел,
то соответствующие им собственные векторы линейно независимы
по теореме~\ref{thm:eigenvectors-are-independent}, а это
противоречит теореме~\ref{thm:independent-set-smaller-than-generating}.
\end{proof}
Возвращаясь к общему понятию инвариантного подпространства, мы теперь
можем уточнить, в каком смысле наличие инвариантных подпространств
помогает свести изучение оператора на пространстве к изучению
операторов на меньших пространствах.
\begin{definition}
Пусть $T\colon V\to V$~--- линейный оператор, $U\leq V$~---
$T$-инвариантное подпространство.
Отображение $T|_U\colon U\to U$, заданное формулой
$(T|_U)(u) = T(u)$, называется \dfn{ограничением линейного оператора}
на инвариантное подпространство $U$.
Отображение $T_{V/U}\colon V/U\to V/U$, заданное формулой
$T_{V/U}(v+U) = T(v) + U$, называется \dfn{индуцированным оператором}
на фактор-пространстве $V/U$.
\end{definition}
\begin{proposition}
Ограничение на инвариантное подпространство и индуцированный оператор
на фактор-пространстве корректно определены и являются линейными
операторами.
\end{proposition}
\begin{proof}
В силу инвариантности $U$ элемент $T(u)$ лежит в $U$ для всех $u\in U$,
поэтому формула $(T|_U)(u) = T(u)$ задает
отображение $T|_U\colon U\to U$. Его линейность очевидным образом
следует из линейности $T$.
Для индуцированного отображения на фактор-пространстве сначала нужно
проверить его корректность, то есть, то, что
правило $v+U \mapsto T(v) + U$ не зависит от выбора представителей.
Пусть $v'$~--- другой представитель класса $v+U$, то есть,
$v' = v + u$ для некоторого $u\in U$.
Тогда $T(v') = T(v) + T(u)$. В силу $T$-инвариантности подпространства
$U$ вектор $T(u)$ лежит в $U$. Значит, $T(v')$ и $T(v)$ отличаются
на элемент из $U$, а потому лежат в одном классе по модулю $U$.
После этого линейность отображения $T_{V/U}$ также напрямую следует
из линейности оператора $T$.
\end{proof}
\subsection{Собственные числа оператора над алгебраически замкнутым полем}
Напомним, что линейные операторы на пространстве $V$ образуют кольцо
относительно сложения и композиции (а композицию мы часто записываем
как умножение; в кольце матриц она буквально соответствует
умножению матриц). Поэтому не очень удивительно,
что мы можем рассматривать многочлены от оператора $T$ на $V$.
А именно, пусть $T\colon V\to V$~--- линейный оператор на
векторном пространстве $V$ над $k$, и пусть $f\in k[x]$~--- некоторый
многочлен с коэффициентами в том же поле $k$.
Запишем $f = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_{n}x^n$.
Определим \dfn{результат подстановки оператора $T$ в многочлен $f$}
следующим образом:
$$
f(T) = \id_V a_0 + Ta_1 + T^2a_2 + \dots + T^n a_n.
$$
Здесь $T^n = \underbrace{T\circ\dots\circ T}_{n}$~--- результат
$n$-кратной композиции $T$ с собой. Нетрудно проверить, что это
<<возведение в степень>> определено для всех натуральных $n$
и обладает обычными свойствами, например, что $T^{m+n} = T^m\circ T^n$.
Итак, мы получили новый линейный оператор $f(T)$ по каждому многочлену
$f\in k[x]$ и оператору $T$ на $V$.
Эта операция напоминает <<подстановку скаляра в многочлен>>
(оно же <<вычисление значение многочлена в точке>>,
см. определение~\ref{dfn:poly-value}), и обладает
похожими свойствами (см. предложение~\ref{prop:evaluation-properties}):
если $f,g\in k[x]$, $\lambda\in k$, $T$~--- оператор на $V$,
то $(f+g)(T) = f(T) + g(T)$, $(fg)(T) = f(T)g(T)$,
$(f\lambda)(T) = f(T)\lambda$.
Эти свойства проверяются простым раскрытием скобок. Действительно,
пусть $f = a_0 + a_1x + \dots + a_mx^m$,
$g = b_0 + b_1x + \dots + b_nx^n$.
Тогда $fg = \sum_k\left(\sum_{i+j=k}a_ib_j\right)x^k$.
Подставляя оператор $T$, получаем
$f(T) = \id_V a_0 + Ta_1 + \dots + T^m a_m$,
$g(T) = \id_V b_0 + Tb_1 + \dots + T^n b_n$,
и потому
$f(T)g(T) = \sum_k\left(\sum_{i+j=k}T^i a_i T^j b_j\right)
= \sum_k T_i\left(\sum_{i+j=k}a_i b_j\right)
= (fg)(T)$. Остальные свойства проверяются аналогично.
В частности, $f(T)g(T) = g(T)f(T)$: {\em многочлены от одного
оператора коммутируют между собой} (обратите внимание, что
композиция операторов, вообще говоря, некоммутативна:
$ST\neq TS$).
\begin{proposition}\label{prop:operator-has-an-eigenvalue}
Пусть поле $k$ алгебраически замкнуто, $V\neq 0$~---
векторное пространство над $k$, $T\colon V\to V$~---
линейный оператор на $V$.
Тогда у $T$ есть собственное число.
\end{proposition}
\begin{proof}
Выберем произвольный ненулевой вектор $v\in V$.
Пусть $\dim V = n$. Рассмотрим векторы
$v,T(v),T^2(v),\dots,T^n(v)$.
Это $n+1$ вектор в $n$-мерном векторном пространстве,
и потому они линейно зависимы.
По лемме~\ref{lemma:linear-dependence-lemma} найдется индекс
$j>0$ такой, что $T^j(v)$ выражается через векторы вида
$T^i(v)$ для $i<j$. Запишем это выражение:
$v a_0 + T(v) a_1 + \dots + T^{j-1}(v) a_{j-1} = T^j(v)$.
Перенесем все в одну часть и вынесем $v$:
$$
(T^j - T^{j-1}a_{j-1} - \dots - T a_1 - \id_V a_0)(v) = 0.
$$
В скобках стоит многочлен от оператора $T$, а именно, $f(T)$,
где $f(x) = x^j - a_{j-1}x^{j-1} - \dots - a_1x - a_0$.
Наше поле алгебраически замкнуто, а степень $f$ больше нуля,
потому $f$ раскладывается на линейные множители:
$f(x) = (x - \lambda_1)\dots(x-\lambda_j)$, и, стало быть,
$f(T) = (T - \id_V\lambda_1)\dots(T-\id_V\lambda_j)$.
Итак, мы получили, что $f(T)(v) = 0$, то есть, что
$(T-\id_V\lambda_1)\dots (T-\id_V\lambda_j)(v) = 0$.
Происходит следующее: на ненулевой вектор $v$ действуют по очереди
операторы вида $T - \id_V\lambda_i$, и получается $0$. Из этого
следует, что хотя бы один из них неинъективен~--- иначе из ненулевого
вектора на каждом шаге получался бы ненулевой.
Но неинъективность оператора $T - \id_V\lambda_i$ как раз и означает,
что $\lambda_i$ является собственным числом $T$
(предложение~\ref{prop:eigenvalue-alternative-defs}).
\end{proof}
Итак, в случае алгебраически замкнутого поля, у каждого оператора
$T$ есть хотя бы одно собственное число $\lambda$, и, разумеется,
есть соответствующий этому числу [ненулевой] собственный вектор $v$.
Дополним этот вектор до некоторого базиса
$\mc B = \{v, v_2,\dots,v_n\}$.
Матрица оператора $T$ в этом базисе выглядит следующим образом:
$$
\begin{pmatrix}
\lambda & * & \dots & * \\
0 & * \dots & * \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & * & \dots & *
\end{pmatrix}.
$$
Мы совершили небольшое продвижение к нашей цели: мы нашли базис,
в котором матрица нашего оператора выглядит чуть-чуть лучше, чем наугад
взятая матрица, а именно, в ней появилось несколько нулей.
Оказывается, мы можем продолжить этот процесс по индукции, и
найти базис, в котором матрица нашего оператора верхнетреугольна.
Для этого нам понадобится следующее описание верхнетреугольных матриц.
\begin{proposition}\label{prop:ut-equivalent-defs}
Пусть $T\colon V\to V$~--- линейный оператор,
$\mc B = \{v_1,\dots,v_n\}$~--- некоторый базис пространства $V$.
Следующие утверждения равносильны:
\begin{enumerate}
\item матрица $[T]_{\mc B}$ верхнетреугольна;
\item для всех $j=1,\dots,n$ вектор $T(v_j)$ лежит в
$\la v_1,\dots,v_j\ra$;
\item для всех $j=1,\dots,n$ подпространство
$\la v_1,\dots,v_j\ra$ является $T$-инвариантным.
\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof}
Предположим, что матрица $[T]_{\mc B}$ верхнетреугольна. Посмотрим
на ее $j$-й столбец: в нем стоит разложение вектора $T(v_j)$
по базису $\mc B$. То, что ниже диагонали там стоят нули, означает,
что $T(v_j)$ на самом деле выражается только через векторы
$v_1,\dots,v_j$. Обратно, если $T(v_j)$ выражается только через
$v_1,\dots,v_j$, то в $j$-м столбце ниже диагонального элемента
должны стоять нули. Поэтому первые два условия равносильны.
Очевидно, что из третьего условия следует второе. Осталось лишь
показать, что из второго следует третье. Итак, пусть выполняется
(2). Тогда
\begin{align*}
T(v_1)&\in\la v_1\ra \subseteq\la v_1,\dots,v_j\ra,\\
T(v_2)&\in\la v_1,v_2\ra \subseteq\la v_1,\dots,v_j\ra,\\
\vdots& \\
T(v_j)&\in\la v_1,\dots,v_j\ra.
\end{align*}
Если $v$~--- любая линейная комбинация векторов $v_1,\dots,v_j$,
то $T(v)$ является линейной комбинацией векторов $T(v_1),\dots,T(v_j)$,
и потому лежит в $\la v_1,\dots,v_j\ra$. Это означает, что
подпространство $\la v_1,\dots,v_j\ra$ является $T$-инвариантным.
\end{proof}
\begin{theorem}
Пусть $k$~--- алгебраически замкнутое поле, $T\colon V\to V$~---
линейный оператор на конечномерном
векторном пространстве $V$ над полем $k$.
Тогда существует базис $v_1,\dots,v_n$ пространства $V$,
в котором матрица оператора $T$ имеет верхнетреугольный вид.
\end{theorem}
\begin{proof}
Пусть $\dim(V) = n$; будем доказывать теорему индукцией по $n$.
Случай $n=1$ очевиден; пусть теперь $n>1$. По
предложению~\ref{prop:operator-has-an-eigenvalue} у $T$ есть собственное
число $\lambda$. Обозначим $U = \Img(T-\id_V\lambda)\leq V$.
По предложению~\ref{prop:eigenvalue-alternative-defs} оператор
$T-\id_V\lambda$ не сюръективен, и потому $U\neq V$.
Покажем, что подпространство $U$ является $T$-инвариантным.
Действительно, для любого $u\in U$ выполнено
$T(u) = (T-\id_V\lambda)(u) + u\lambda$, и очевидно, что оба слагаемых
лежат в $U$.
Теперь мы можем рассмотреть ограничение $T|_U$ оператора $T$ на
подпространство $U$. Мы знаем, что $\dim(U) < \dim(V)$, и потому
к $U$ можно применить предположение индукции и заключить, что
существует базис $u_1,\dots,u_m$ пространства $U$, в котором
матрица оператора $T|_U$ верхнетреугольна. По
предложению~\ref{prop:ut-equivalent-defs} из этого следует, что
$T(u_j) = (T|_U)(u_j) \in\la u_1,\dots,u_j\ra$ для всех $j=1,\dots,m$.
Дополним $u_1,\dots,u_m$ до базиса $u_1,\dots,u_m,v_1,\dots,v_s$
пространства $V$. Тогда
$T(v_k) = (T-\id_V\lambda)v_k + v_k\lambda$ для всех $k=1,\dots,s$.
По определению $(T-\id_V\lambda)v_k\in U$, и потому
$T(v_k)\in\la u_1,\dots,u_m,v_1,\dots,v_k\ra$.
По предложению~\ref{prop:ut-equivalent-defs} из этого следует,
что матрица оператора $T$ в базисе
$u_1,\dots,u_m,v_1,\dots,v_s$ верхнетреугольна.
\end{proof}
% 27.04.2015
Зная базис, в котором матрица оператора верхнетреугольна, легко
определить, когда этот оператор обратим.
\begin{proposition}\label{prop:when-ut-is-invertible}
Пусть матрица оператора $T\colon V\to V$ в некотором базисе
верхнетреугольна. Оператора $T$ обратим тогда и только тогда,
когда все диагональные элементы этой матрицы отличны от нуля.
\end{proposition}
\begin{proof}
Пусть $\mc B = (v_1,\dots,v_n)$~--- базис, в котором матрица
оператора $T$ верхнетреугольна, и пусть
$$[T]_{\mc B} = \begin{pmatrix}
\lambda_1 & * & \dots & * \\
0 & \lambda_2 & \dots & * \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \dots & \lambda_n
\end{pmatrix}.
$$
Предположим, что оператор $T$ обратим. Тогда $\lambda_1\neq 0$
(иначе $T(v_1) = v_1\lambda_1 = 0$). Предположим, что
$\lambda_j = 0$ для некоторого $j>1$. Глядя на матрицу $T$,
мы видим, что $T$ отображает подпространство
$\la v_1,\dots,v_j\ra$ в подпространство $\la v_1,\dots,v_{j-1}\ra$.
При этом размерность первого подпространства равна $j$,
а второго~--- $j-1$. По следствию~\ref{cor:no-injective-maps}
не существует инъективных линейных отображений из $j$-мерного
пространства в $(j-1)$-мерное. Значит, ограничение оператора $T$
на подпространство $\la v_1,\dots,v_j\ra$ неинъективно.
Это означает, что найдется ненулевой вектор $v\in\la v_1,\dots,v_j\ra$,
для которого $T(v) = 0$. Поэтому $T$ неинъективен, что противоречит
предположению об обратимости $T$.
Обратно, предположим теперь, что все $\lambda_1,\dots,\lambda_n$
отличны от нуля. Глядя на первый столбец матрицы оператора
$T$, мы видим, что $T(v_1) = v_1\lambda_1$,
и потому $T(v_1\lambda_1^{-1}) = v_1$. Значит, $v_1\in\Img(T)$.
Далее, судя по второму столбцу матрицы оператора $T$,
$T(v_2\lambda_2^{-1}) = v_1 a + v_2$ для некоторого $a\in k$.
При этом $T(v_2\lambda_2^{-1})$ и $v_1a$ лежат в $\Img(T)$.
Поэтому и $v_2\in\Img(T)$.
Аналогично,
$T(v_3\lambda_3^{-1}) = v_1b + v_2c + v_3$ для некоторых
$b,c\in k$. Мы уже знаем, что все члены этого равенства, кроме $v_3$,
лежат в $\Img(T)$, потому и $v_3\in\Img(T)$.
Продолжая аналогичным образом, мы получаем, что
$v_1,\dots,v_n\in\Img(T)$.
Тогда и $\la v_1,\dots,v_n\ra\subseteq\Img(T)$. Но $v_1,\dots,v_n$~---
базис пространства $V$, и потому
$\Img(T) = V$. Значит, оператор $T$ сюръективен, что по
предложению~\ref{prop:operators-bij-inj-surj} влечет его обратимость.
\end{proof}
Теперь несложно показать, что если мы смогли привести матрицу
оператора к верхнетреугольному виду, то на диагонали в точности стоят
собственные числа этого оператора.
\begin{proposition}
Пусть матрица оператора $T$ относительно некоторого базиса
верхнетреугольна. Тогда собственные числа оператора $T$~--- это
в точности диагональные элементы этой матрицы.
\end{proposition}
\begin{proof}
Пусть
$$
[T]_{\mc B} = \begin{pmatrix}
\lambda_1 & * & \dots & * \\
0 & \lambda_2 & \dots & * \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \dots & \lambda_n
\end{pmatrix}.
$$
Для $\lambda\in k$ рассмотрим оператор $T - \id_V\lambda$.
Его матрица в том же базисе имеет вид
$$
[T -\id_V\lambda]_{\mc B} = \begin{pmatrix}
\lambda_1-\lambda & * & \dots & * \\
0 & \lambda_2-\lambda & \dots & * \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \dots & \lambda_n-\lambda
\end{pmatrix}.
$$
По предложению~\ref{prop:when-ut-is-invertible} необратимость
оператора $T-\id_V\lambda$ равносильна тому, что $\lambda_j-\lambda=0$
для некоторого $j$, то есть, что $\lambda$ стоит (где-то) на диагонали.
С другой стороны, по предложению~\ref{prop:eigenvalue-alternative-defs}
необратимость оператора $T-\id_V\lambda$ равносильна тому, что
$\lambda$~--- собственное число оператора $T$.
\end{proof}
\begin{definition}
Пусть $T\colon V\to V$~--- линейный оператор на векторном пространстве
$V$, $\lambda\in k$. Подпространство
$V_\lambda(T) = \Ker(T-\id_V\lambda)$ в $V$ называется
\dfn{собственным подпространством} оператора $T$, соответствующим
числу $\lambda$. Часто, если понятно, о каком операторе идет речь,
мы опускаем $T$ в обозначении и пишем $V_\lambda$ вместо $V_\lambda(T)$.
\end{definition}
Нетрудно видеть, что $V_\lambda$~--- это в точности множество
всех собственных векторов оператора $T$, соответствующих $\lambda$,
вместе с $0$. Скаляр $\lambda$ является собственным числом
оператора $T$ тогда и только тогда, когда подпространство
$V_\lambda$ отлично от нулевого.
\begin{proposition}\label{prop:sum-of-eigenspaces-is-direct}
Пусть $V$~--- конечномерное пространство над полем $k$,
$T\colon V\to V$~--- линейный оператор. Пусть
$\lambda_1,\dots,\lambda_m$~--- различные собственные числа
оператора $T$.
Тогда сумма $V_{\lambda_1} + \dots + V_{\lambda_m}$ прямая.
Кроме того, $\dim V_{\lambda_1} + \dots + \dim V_{\lambda_m}\leq
\dim V$.
\end{proposition}
\begin{proof}
Пусть $u_1 + \dots + u_m = 0$, где $u_j\in V_{\lambda_j}$
Из линейной независимости собственных векторов
(теорема~\ref{thm:eigenvectors-are-independent})
следует, что $u_1 = \dots = u_m = 0$. Поэтому сумма
$V_{\lambda_1} + \dots + V_{\lambda_m}$ прямая.
Утверждение про размерность теперь напрямую следует из того,
что размерность прямой суммы подпространств равна сумме
их размерностей (следствие~\ref{cor:direct-sum-dimension}).
\end{proof}
\subsection{Диагонализуемые операторы}\label{subsect:diagonalizable}
\literature{[K2], гл. 2, \S~3, п. 4; [KM], ч. 1, \S~8.}
\begin{definition}
Оператор $T\colon V\to V$ называется \dfn{диагонализуемым},
если его матрица относительно некоторого базиса пространства $V$
диагональна.
\end{definition}
Диагонализуемые операторы составляют важный класс операторов,
для которых задача приведения к <<наиболее удобной форме>>
решается просто (нет ничего удобнее диагональной матрицы).
Поэтому полезно уметь распознавать их.
\begin{theorem}\label{thm:diagonalizable-equivalent}
Пусть $V$~--- конечномерное векторное пространство,
$T\colon V\to V$~--- линейный оператор. Пусть
$\lambda_1,\dots,\lambda_m$~--- все различные собственные числа
оператора $T$. Следующие условия эквивалентны:
\begin{enumerate}
\item оператор $T$ диагонализуем;\label{thm:diagonalizable-equivalent-1}
\item у пространства $V$ есть базис, состоящий из собственных
векторов оператора $T$;\label{thm:diagonalizable-equivalent-2}
\item найдутся одномерные подпространства $U_1,\dots,U_n$ в $V$,
каждое из которых $T$-инвариантно, такие, что
$V = U_1\oplus\dots\oplus U_n$;\label{thm:diagonalizable-equivalent-3}
\item $V = V_{\lambda_1}(T)\oplus\dots\oplus V_{\lambda_m}(T)$;
\label{thm:diagonalizable-equivalent-4}
\item $\dim V = \dim V_{\lambda_1}(T) + \dots + \dim V_{\lambda_m}(T)$.
\label{thm:diagonalizable-equivalent-5}
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
\begin{itemize}
\item $1\Leftrightarrow 2$.
Заметим, что матрица оператора $T$ в базисе $v_1,\dots v_n$
имеет вид
$$
\begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0 & \dots & 0 \\
0 & \lambda_2 & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \dots & \lambda_n
\end{pmatrix}
$$
тогда и только тогда, когда $T(v_j) = v_j\lambda_j$
для всех $j=1,\dots,n$.
\item $2\Rightarrow 3$. Предположим, что $v_1,\dots,v_n$~--- базис $V$,
и каждый вектор $v_j$~--- собственный вектор оператора $T$.
Обозначим $U_j = \la v_j\ra$. Очевидно, что каждое подпространство
$U_j$ одномерно и $T$-инвариантно. Из определения базиса
следует, что вектор из $V$ можно
единственным образом записать в виде линейной комбинации элементов
$v_1,\dots,v_n$. Иными словами любой вектор из $V$ можно единственным
образом представить в виде суммы $u_1+\dots+u_n$, где $u_j\in U_j$.
Это и значит, что $V = U_1\oplus \dots \oplus U_n$.
\item $3\Rightarrow 2$. Пусть $V=U_1\oplus\dots\oplus U_n$
для некоторых одномерных $T$-инвариантных подпространств
$U_1,\dots,U_n$. Выберем в каждом $U_j$ по ненулевому вектору
$v_j$. Из $T$-инвариантности $U_j$ следует, что $v_j$~--- собственный
вектор оператора $T$. Каждый вектор из $V$ можно единственным образом
представить в виде суммы $u_1+\dots+u_n$, где $u_j\in U_j$, то есть,
единственным образом представить в виде суммы кратных $v_j$.
Поэтому $v_1,\dots,v_n$~--- базис $V$.
\item $2\Rightarrow 4$. Пусть у $V$ есть базис, состоящий из
собственных векторов. Тогда любой вектор $V$ является линейной
комбинацией собственных, и потому
$V = V_{\lambda_1}(T) + \dots + V_{\lambda_m}(T)$.
Осталось применить предложение~\ref{prop:sum-of-eigenspaces-is-direct}.
\item $4\Rightarrow 5$. Достаточно применить
следствие~\ref{cor:direct-sum-dimension}.
\item $5\Rightarrow 2$. Выберем базис в каждом подпространстве
$V_{\lambda_j}(T)$. Собрав эти базисы вместе, получим
набор $v_1,\dots,v_n$, состоящий из собственных векторов
оператора $T$. По предположению их количество $n$ равно $\dim V$.
Покажем, что этот набор линейно независим. Предположим, что
$v_1a_1 + \dots + v_na_n = 0$ для некоторых $a_1,\dots,a_n\in k$.
Пусть $u_j$~--- сумма всех слагаемых вида $v_ka_k$, для которых
$v_k\in V_{\lambda_j}$. Тогда каждый вектор $u_j$ лежит
в $V_{\lambda_j}$, и сумма $u_1+\dots+u_m = 0$.
Из теоремы~\ref{thm:eigenvectors-are-independent} следует,
что все слагаемые этой суммы равны нулю. Но каждое слагаемое
$u_j$ является суммой элементов вида $v_ka_k$, где $v_k$ образуют
базис пространства $V_{\lambda_j}$. Поэтому все коэффициенты
$a_k$ равны нулю. Мы получили, что набор $v_1,\dots,v_n$ линейно
независим. Его можно дополнить до базиса, но, с другой стороны,
количество векторов в этом наборе уже равно размерности
пространства $V$. Поэтому $v_1,\dots,v_n$~--- базис $V$.
\end{itemize}
\end{proof}
\begin{example}
Пусть оператор $T$ на двумерном пространстве $k^2$ задан формулой
$v\mapsto A\cdot v$, где
$$
A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}.
$$
Иными словами, $A$~--- матрица оператора $T$ в стандартном
базисе пространства $k^2$.
Матрица $A$ верхнетреугольна, поэтому собственные числа оператора
$T$~--- это ее диагональные элементы. Таким образом, у $T$
есть ровно одно собственное число: $0$. Несложное вычисление показывает,
что все собственные векторы имеют вид $\begin{pmatrix} * \\ 0\end{pmatrix}$. Поэтому у $k^2$ нет базиса, состоящего из собственных
векторов, а значит, оператор $T$ не диагонализуем.
\end{example}
Таким образом, не любой оператор можно привести к диагональному виду.
Но, во всяком случае, это возможно, если у оператора достаточно
много различных собственных чисел.
\begin{corollary}
Пусть $T\colon V\to V$~--- линейный оператор на $n$-мерном векторном
пространстве $V$. Предположим, что у $T$ есть $n$ различных
собственных чисел. Тогда оператор $T$ диагонализуем.
\end{corollary}
\begin{proof}
У оператора $T$ есть $n$ собственных векторов $v_1,\dots,v_n$,
соответствующих различным собственным числам.
По теореме~\ref{thm:eigenvectors-are-independent} они
линейно независимы. Но их количество равно размерности пространства
$V$, и потому они образуют базис $V$. По
теореме~\ref{thm:diagonalizable-equivalent}
из этого следует, что $T$ диагонализуем.
\end{proof}
\subsection{Корневое разложение}
\literature{[F], гл. XII, \S~6, п. 2; [K2], гл. 2, \S~4, п. 3; [KM], ч. 1, \S~9.}
Для нахождения правильного базиса в пространстве $V$ нам понадобится
некоторое расширение понятия собственного вектора.
Напомним, что собственные векторы~--- это в точности ненулевые
элементы $\Ker(T-\id_V\lambda)$. Посмотрим теперь
на $\Ker(T-\id_V\lambda)^j$ при различных $j=1,2,\dots$.
\begin{lemma}\label{lemma:series-of-kernels}
Для любого оператора $T\colon V\to V$ имеется
возрастающая цепочка вложенных подпространств
$$
0 = \Ker(T^0) \leq \Ker(T) \leq \Ker(T^2) \leq \Ker(T^3) \leq \dots.
$$
Более того, если $\Ker(T^j) = \Ker(T^{j+1})$ для некоторого
натурального $j$, то $\Ker(T^{j+m})=\Ker(T^{j+m+1})$ для всех $m\geq0$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Пусть $v\in\Ker(T^i)$. Это значит, что $T^i(v)=0$.
Но тогда и $T^{i+1}(v)=T(T^i(v)) = T(0)=0$.
Мы показали, что $\Ker(T^i)\subseteq\Ker(T^{i+1})$.
Докажем второе утверждение индукцией по $m$. База $m=0$ очевидна.
Пусть теперь $m>0$. Мы уже знаем, что $\Ker(T^{j+m})\subseteq
\Ker(T^{j+m+1})$; осталось доказать обратное включение.
Пусть $v\in\Ker(T^{j+m+1})$. Это означает, что
$T^{j+m+1}(v)=0$. Но $T^{j+m+1}(v) = T^{j+1}(T^m(v)) = 0$.
Поэтому $T^m(v)\in\Ker(T^{j+1}) = \Ker(T^j)$,
и тогда $0 = T^j(T^m(v)) = T^{j+m}(v)$, и поэтому
$v\in\Ker(T^{j+m})$, что и требовалось.
\end{proof}
Итак, мы построили бесконечную цепочку возрастающих подпространств
и показали, что если два элемента в ней совпали, то начиная
с этого места цепочка <<стабилизируется>>.
В конечномерном пространстве $V$, разумеется, невозможна
бесконечная цепочка {\em строго} возрастающих подпространств.
\begin{proposition}\label{prop:nilpotence-degree-is-bounded}
Пусть $T\colon V\to V$~--- линейный оператор на конечномерном
пространстве $V$, и $\dim(V) = n$. Тогда
$\Ker(T^n) = \Ker(T^{n+1}) = \dots = \Ker(T^{n+j}) = \dots$.
\end{proposition}
\begin{proof}
Предположим, что $\Ker(T^n)\neq\Ker(T^{n+1})$.
Посмотрим на включение $\Ker(T^0)\leq\Ker(T)$.
Если в нем имеет место равенство, то
(по лемме~\ref{lemma:series-of-kernels}) и $\Ker(T^n)=\Ker(T^{n+1})$.
Значит, $\Ker(T^0)\neq \Ker(T)$. Аналогично,
$$
\Ker(T)\neq\Ker(T^2)\neq\Ker(T^3)\neq\dots\neq\Ker(T^n)\neq\Ker(T^{n+1}).
$$
Но тогда $\dim(\Ker(T))\geq 1$, $\dim(\Ker(T^2))\geq 2$, \dots,
$\dim(\Ker(T^{n+1})) \geq n+1$. Но $\Ker(T^{n+1})$~--- подпространство
в $V$, и не может иметь размерность, большую $n$.
Получили противоречие.
Мы показали, что $\Ker(T^n) = \Ker(T^{n+1})$, а
по лемме~\ref{lemma:series-of-kernels} из этого следует
и равенство всех следующих подпространств в нашей цепочке.
\end{proof}
Следующее предложение оказывается ключом к разложению пространства
в прямую сумму подпространств, на каждом из которых
ситуацию проще исследовать.
\begin{proposition}\label{prop:ker-im-direct-sum}
Пусть $T\colon V\to V$~--- линейный оператор на пространстве
размерности $n$. Тогда
$V = \Ker(T^n)\oplus\Img(T^n)$.
\end{proposition}
\begin{proof}
Покажем сначала, что $\Ker(T^n)\cap\Img(T^n) = 0$.
Действительно, пусть $v\in\Ker(T^n)\cap\Img(T^n)$.
Тогда $v = T^n(u)$; с другой стороны, $T^n(v) = T^n(T^n(u))=0$.
Поэтому $u\in\Ker(T^{2n}) = \Ker(T^n)$ (по
предложению~\ref{prop:nilpotence-degree-is-bounded}), откуда
$v = T^n(u) = 0$.
Мы показали, что сумма $\Ker(T^n) + \Img(T^n)\leq V$ прямая.
По следствию~\ref{cor:direct-sum-dimension}
тогда $\dim(\Ker(T^n)+\Img(T^n)) = \dim\Ker(T^n)
+\dim\Img(T^n)$. По теореме
о гомоморфизме~\ref{thm:homomorphism-linear} эта сумма
размерностей равна $\dim V$,
и потому $\Ker(T^n)\oplus\Img(T^n) = V$.
\end{proof}
Выше мы разобрались с диагональными операторами за счет того,
что для них имеет место разложение в прямую сумму
инвариантных $T$-подпространств вида
$V = V_{\lambda_1}\oplus\dots\oplus V_{\lambda_m}$,
где $\lambda_1,\dots,\lambda_m$~--- все различные собственные числа
оператора $T$. Сейчас мы покажем, что для произвольного оператора
имеет место аналогичное разложение, если собственные
подпространства заменить на чуть большие
{\em корневые}.
\begin{definition}
Пусть $T\colon V\to V$~--- линейный оператор,
и $\lambda\in k$~--- его собственное число.
Ненулевой вектор $v\in V$ называется \dfn{корневым вектором}
оператора $T$, соответствующим собственному числу $\lambda$,
если $(T-\id_V\lambda)^j(v) = 0$ для некоторого натурального $j$.
\end{definition}
\begin{remark}\label{rem:gen-eigen-is-a-subspace}
Предположим, что $(T-\id_V\lambda)^j(v) = 0$ для некоторого
$j$. По предложению~\ref{prop:nilpotence-degree-is-bounded}
тогда и $(T-\id_V\lambda)^n(v) = 0$, где $n = \dim(V)$.
Поэтому корневые векторы~--- это на самом деле в точности
ненулевые элементы $\Ker(T - \id_V\lambda)^n$.
\end{remark}
\begin{definition}
Множество всех корневых векторов оператора $T$, соответствующих
собственному числу $\lambda$, вместе с нулем, называется
\dfn{корневым подпространством} и обозначается через $V(\lambda,T)$.
Зачастую из контекста понятно, о каком операторе
идет речь, и мы пишем $V(\lambda)$ вместо $V(\lambda,T)$.
По замечанию~\ref{rem:gen-eigen-is-a-subspace} это действительно
подпространство: $V(\lambda,T) = \Ker(T - \id_V\lambda)^n$,
где $n = \dim(V)$.
\end{definition}
\begin{theorem}\label{thm:gen-eigenvectors-are-independent}
Пусть $T\colon V\to V$~--- линейный оператор,
$\lambda_1,\dots,\lambda_m$~--- его попарно различные собственные
числа, $v_1,\dots,v_m$~--- соответствующие им корневые векторы.
Тогда $v_1,\dots,v_m$ линейно независимы.
\end{theorem}
\begin{proof}
Предположим, что $v_1,\dots,v_m$ линейно зависимы. По
лемме~\ref{lemma:linear-dependence-lemma} найдется индекс
$j$ такой, что $v_j = v_1a_1 + \dots + v_{j-1}a_{j-1}$
для некоторых $a_1,\dots,a_{j-1}\in k$. Выберем наименьшее
такое $j$.
Вектор $v_j$ является корневым, соответствующим собственному числу
$\lambda_j$. Возьмем наименьшую степень $d$
оператора $(T-\id_V\lambda_j)$, которая не переводит этот вектор в $0$.
Иными словами, пусть $(T-\id_V\lambda_j)^d(v_j)\neq 0$
и $(T-\id_V\lambda_j)^{d+1}(v_j) = 0$.
Обозначим $(T-\id_V\lambda_j)^d(v_j) = w$.
Тогда $(T-\id_V\lambda_j)(w) = 0$, и поэтому $Tw = w\lambda_j$.
Более того, $(T-\id_V\lambda)(w) = T(w) - w\lambda
= w(\lambda_j - \lambda)$ для всех $\lambda\in k$.
Поэтому $(T-\id_V\lambda)^k(w) = w(\lambda_i-\lambda)^k$
для всех натуральных $k$.
Пусть $\dim V = n$.
Применим к нашей линейной зависимости оператор
$(T-\id_V\lambda_1)^n\dots(T-\id_V\lambda_{j-1})^n(T-\id_V\lambda_j)^d$.
В левой части получим
$$
(T-\id_V\lambda_1)^n\dots(T-\id_V\lambda_{j-1})^n(T-\id_V\lambda_j)^d(v_j).
$$
Сначала к вектору $v_j$ применяется оператор $(T-\id_V\lambda_j)^d$,
и получается вектор $w$, а потом применяются по очереди
операторы вида $(T-\id_V\lambda_i)^n$ для $i\neq j$.
Но выше мы выяснили, как они действуют: такой оператор
просто умножает $w$ на $(\lambda_j - \lambda_i)^n$.
Поэтому результат равен
$(\lambda_j-\lambda_1)^n\dots(\lambda_j-\lambda_{j-1})^n w$
и отличен от нуля.
В правой же части происходит следующее: при вычислении
действия оператора $(T-\id_V\lambda_1)^n\dots(T-\id_V\lambda_{j-1})^n
(T-\id_V\lambda_j)^d$ на $v_i$ (где $1\leq i\leq j-1$)
можно переставить скобки так, чтобы сначала действовала
скобка $(T-\id_V\lambda_i)^n$. Но $(T-\id_V\lambda_i)^n(v_i) = 0$
по определению корневого вектора. Поэтому каждое слагаемое
в правой части равно нулю.
Мы получили, что ненулевой вектор равен нулевому; это противоречие,
которое завершает доказательство.
\end{proof}
\begin{lemma}\label{lemma:poly-ker-and-im-are-invariant}
Пусть $T\colon V\to V$~--- линейный оператор,
$p\in k[x]$~--- многочлен. Тогда подпространства
$\Ker(p(T))$ и $\Img(p(T))$ $T$-инвариантны.
\end{lemma}
\begin{proof}
Пусть $v\in\Ker(p(T))$, то есть, $p(T)(v)=0$.
Тогда
$$
p(T)(T(v)) = (p(T)\cdot T)(v) = (T\cdot p(T))(v) = T(p(T)(v))
= T(0) = 0.
$$
Мы получили, что $T(v)\in\Ker(p(T))$, и потому $\Ker(p(T))$
действительно $T$-инвариантно.
Пусть теперь $v\in\Img(p(T))$, то есть,
$v = p(T)(u)$ для некоторого $u\in V$.
Тогда $T(v) = T(p(T)(u)) = p(T)(T(u)) \in\Img(p(T))$,
что и требовалось.
\end{proof}
Теперь мы готовы показать, что пространство раскладывается
в прямую сумму корневых.
Для этого нам понадобится следующее определение.
\begin{definition}
Линейный оператор $T\colon V\to V$ называется \dfn{нильпотентным},
если $T^j=0$ для некоторого натурального $j$.
\end{definition}
\begin{theorem}\label{thm:root-space-decomposition}
Пусть $T\colon V\to V$~--- линейный оператор на конечномерном
пространстве $V$ над алгебраически замкнутым полем $k$,
$\lambda_1,\dots,\lambda_m$~--- все его (попарно различные)
собственные числа. Тогда
\begin{enumerate}
\item $V = V(\lambda_1,T) \oplus \dots \oplus V(\lambda_m,T)$;
\item каждое из подпространств $V(\lambda_j,T)$ является
$T$-инвариантным;
\item оператор $(T-\id_V\lambda_j)|_{V(\lambda_j,T)}$ на
корневом подпространстве $V(\lambda_j,T)$ нильпотентен.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
Пусть $\dim(V) = n$.
Заметим сначала, что $V(\lambda_j,T) = \Ker(T-\id_V\lambda_j)^n$,
и его $T$-инвариантность следует из
леммы~\ref{lemma:poly-ker-and-im-are-invariant}, примененной
к многочлену $p(x) = (x-\lambda_j)^n$.
Далее, если $v\in V(\lambda_j,T)$, то $(T-\id_V\lambda_j)^n(v) = 0$.
Поэтому оператор $(T-\id_V\lambda_j)^n$ тождественно равен $0$
на подпространстве $V(\lambda_j,T)$, откуда следует нильпотентность
оператора $(T-\id_V\lambda_j)|_{V(\lambda_j,T)}$.
Осталось показать, что $V$ раскладывается в прямую сумму корневых.
Будем доказывать это индукцией по $n$. Случай $n=1$ очевиден.
Пусть теперь $n>1$, и нужный результат верен для всех пространств
меньшей размерности.
По предложению~\ref{prop:operator-has-an-eigenvalue}
у $T$ есть собственное число; поэтому $m\geq 1$.
По лемме~\ref{prop:ker-im-direct-sum}
тогда $V = \Ker(T-\id_V\lambda_1)^n \oplus \Img(T-\id_V\lambda_1)^n$.
Первое подпространство в прямой сумме~--- это в точности
$V(\lambda_1,T)$, а второе давайте обозначим через $U$.
Пространство $V(\lambda_1,T)$ нетривиально, и потому
размерность $U$ строго меньше размерности $V$.
Кроме того, подпространство $U$ является $T$-инвариантным по
лемме~\ref{lemma:poly-ker-and-im-are-invariant}.
Значит, к оператору $T|_U$, действующему на пространстве $U$,
можно применить предположение индукции, и получить, что
$$
U = V(\mu_1,T|_U)\oplus\dots \oplus V(\mu_k,T|_U),
$$
где $\mu_1,\dots,\mu_k$~--- собственные числа оператора
$T|_U$. Покажем, что любое собственное число $\lambda$ оператора $T|_U$
является и собственным числом оператора $T$. Действительно,
если $T|_U(u)=u\lambda$ для некоторого ненулевого вектора $u\in U$,
то и $T(u) = u\lambda$. Заметим также, что у оператора $T|_U$
не может быть собственного числа $\lambda_1$:
если $T|_U(u)=u\lambda_1$ то $T(u) = u\lambda_1$, и потому
$u\in \Ker(T-\id_V\lambda_1)^n$, и из разложения в прямую сумму
$V = \Ker(T-\id_V\lambda_1)^n\oplus U$ следует, что $u=0$.
Мы получили, что $\mu_1,\dots,\mu_k$~--- это какие-то из чисел
$\lambda_2,\dots,\lambda_m$. Возьмем какое-нибудь одно из
$\mu_1,\dots,\mu_k$; пусть это $\lambda_j$.
Несложно понять, что $V(\lambda_j,T|_U) \leq V(\lambda_j,T)$:
действительно, если $u\in U$~--- корневой вектор для собственного
числа $\lambda_j$ оператора $T|_U$, то тем более
$u$ является корневым вектором для собственного числа $\lambda_j$
оператора $T$.
Вернемся к общей картине.
По теореме~\ref{thm:gen-eigenvectors-are-independent}
сумма корневых подпространств прямая; получаем,
что $V(\lambda_1,T)\oplus\dots V(\lambda_m,T)\leq V$.
С другой стороны, мы показали, что $V = V(\lambda_1,T)\oplus U$,
и $U$ раскладывается в прямую сумму слагаемых, каждое из которых
содержится в каком-то $V(\lambda_j,T)$.
Поэтому
\begin{align*}
V &= V(\lambda_1,T)\oplus U \\
&= V(\lambda_1,T)\oplus V(\mu_1,T|_U)\oplus\dots\oplus V(\mu_k,T|_U) \\
&\leq V(\lambda_1,T)\oplus V(\lambda_2,T)\oplus \dots \oplus V(\lambda_m,T),
\end{align*}
и мы получили включение в обратную сторону.
\end{proof}
\begin{corollary}
Пусть $T\colon V\to V$~--- линейный оператор на конечномерном
пространстве $V$ над алгебраически замкнуты м полем $k$.
Тогда у пространства $V$ есть базис, состоящий из корневых векторов
оператора $T$.
\end{corollary}
\begin{proof}
Выберем базисы в каждом из подпространств вида $V(\lambda_j,T)$
и объединим их.
\end{proof}
\subsection{Характеристический и минимальный многочлены}
\begin{definition}
Пусть $V$~--- векторное пространство над алгебраически замкнутым полем $k$,
$T\colon V\to V$~--- линейный оператор, $\lambda\in k$~--- его собственное число.
Размерность соответствующего корневого подпространства $V(\lambda,T)$
называется \dfn{кратностью собственного числа $\lambda$}.
Иными словами, кратность собственного числа $\lambda$ оператора $T$
равна $\dim(\Ker(T-\id_V\lambda)^{\dim(V)})$.
\end{definition}
\begin{remark}
Иногда то, что мы называем кратностью, в литературе называется
{\em алгебраической кратностью}, в то время как размерность собственного подпространства
$V_\lambda(T)$ называется {\em геометрической кратностью} $\lambda$.
После этого доказывается теорема о том, что геометрическая кратность не превосходит
алгебраической кратности, которая при наших определениях очевидна
(собственное подпространство содержится в корневом).
\end{remark}
\begin{corollary}\label{cor:sum-of-multiplicities}
Сумма кратностей всех собственных чисел оператора $T\colon V\to V$ равна $\dim(V)$.
\end{corollary}
\begin{proof}
Тривиально следует из теоремы~\ref{thm:root-space-decomposition}
и следствия~\ref{cor:direct-sum-dimension}.
\end{proof}
\begin{definition}
Пусть $V$~--- векторное пространство над алгебраически замкнутым полем $k$,
$T\colon V\to V$~--- линейный оператор. Пусть $\lambda_1,\dots,\lambda_m$~--- все его
[попарно различные] собственные числа, а $d_1,\dots,d_m$~--- их кратности, соответственно.
Многочлен $(x-\lambda_1)^{d_1}\dots(x-\lambda_m)^{d_m}$ называется
\dfn{характеристическим многочленом} оператора $T$.
\end{definition}
\begin{proposition}\label{prop:degree-and-roots-of-char-poly}
Степень характеристического многочлена оператора $T\colon V\to V$ равна $\dim(V)$,
а его корни~--- в точности собственные числа оператора $T$.
\end{proposition}
\begin{proof}
Очевидно из определения и следствия~\ref{cor:sum-of-multiplicities}.
\end{proof}
\begin{theorem}[Гамильтона--Кэли]\label{thm:cayley-hamilton}
Пусть $V$~--- векторное пространство над алгебраически замкнутым полем $k$,
$T\colon V\to V$~--- линейный оператор, $q\in k[x]$~--- его характеристический многочлен.
Тогда $q(T) = 0$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Пусть $\lambda_1,\dots,\lambda_m$~--- все собственные числа оператора $T$,
а $d_1,\dots,d_m$~--- их кратности. По теореме~\ref{thm:root-space-decomposition}
ограничения вида $(T-\id_V\lambda_j)|_{V(\lambda_j,T)}$ нильпотентны,
а по предложению~\ref{prop:nilpotence-degree-is-bounded} тогда
$(T-\id_V\lambda_j)^{d_j}|_{V(\lambda_j,T)} = 0$.
Любой вектор из $V$ является суммой векторов из $V(\lambda_1,T),\dots,V(\lambda_m,T)$
(по теореме~\ref{thm:root-space-decomposition}), поэтому достаточно доказать,
что $q(T)(v_j)=0$ для любого $v_j\in V(\lambda_j,T)$.
По определению
$$
q(T) = (T-\id_V\lambda_1)^{d_1}\dots (T-\id_V\lambda_m)^{d_m}.
$$
Операторы в правой части являются многочленами от оператора $T$, и потому коммутируют
друг с другом. Переставим их так, чтобы множитель $(T-\id_V\lambda_j)^{d_j}$ оказался
последним. Но $(T-\id_V\lambda_j)^{d_j}(v_j)=0$, и потому $q(T)(v_j)=0$,
что и требовалось.
\end{proof}
\begin{definition}\label{dfn:minimal-polynomial}
Пусть $T\colon V\to V$~--- линейный оператор на векторном пространстве $V$.
Многочлен $p\in k[x]$ минимальной степени со старшим коэффициентом $1$,
для которого $p(T)=0$, называется \dfn{минимальным многочленом} оператора $T$.
Иными словами, многочлен $p\in k[x]$ со старшим коэффициентом $1$ называется
минимальным многочленом оператора $T$, если
\begin{itemize}
\item $p(T)=0$;
\item если $f\in k[x]$~--- многочлен со старшим коэффициентом $1$, для
которого $f(T)=0$, то $\deg f\geq \deg p$.
\end{itemize}