-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 2
/
set-theory.tex
828 lines (739 loc) · 56.5 KB
/
set-theory.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
\section{Наивная теория множеств}
\subsection{Множества}
\literature{[K1], гл. 1, \S~5, п. 1; [vdW], гл. 1, \S~1.}
Мы не будем давать точных определений основным понятиям теории
множеств, этим занимается аксиоматическая теория множеств. Наш подход
к теории множеств совершенно наивен; под множеством мы будем понимать
некоторый {\it набор} ({\it совокупность}, {\it семейство})
объектов~--- {\it элементов}. Природа этих объектов для нас не очень
важна: это могут
быть, скажем, натуральные числа, а могут быть другие
множества. Множество полностью определяется своими элементами. Иными
словами, два множества $A$ и $B$ равны тогда и только тогда, когда они
состоят из одних и тех же элементов: $x\in A$ тогда и только тогда,
когда $x\in B$.
Как задать множество? Самый простой способ~--- перечислить его
элементы следующим образом: $A=\{1,2,3\}$.
Сразу отметим, что каждый
объект $x$ может либо являться элементом данного множества $A$ (это
записывается так: $x\in A$), либо не
являться его элементом ($x\not\in A$); он не может быть элементом
множества $A$ <<два раза>>. Поэтому запись $\{1,2,1,3,3,2\}$ задает то
же самое множество, что и запись $\{1,2,3\}$, и запись $\{2,3,1\}$.
Прямое перечисление может задать только конечное множество. Для
задания бесконечных множеств можно использовать неформальную запись с
многоточием, например, $\mb N=\{0,1,2,3,\dots\}$~--- множество натуральных
чисел.
\begin{remark}
Мы будем считать, что $0$ является натуральным числом.
\end{remark}
В такой записи с многоточием мы предполагаем, что читатель понимает,
какие именно элементы имеются в виду. Многоточие может стоять и
справа, и слева: например, запись $\{\dots,-4,-2,0,2,4,\dots\}$ призвана
обозначать множество четных чисел.
Мы предполагаем также, что нам известны такие множества, изучающиеся в
школе, как множество вещественных чисел $\mb R$, множество
рациональных чисел $\mb Q$, множество целых чисел $\mb Z$.
Очень важный пример множества~--- пустое множество $\emptyset$. Это
такое множество, что высказывание $x\in\emptyset$ ложно для любого
объекта $x$.
Чуть более строгий способ задания множества: $A=\{s\in S\mid s\text{
удовлетворяет свойству }P\}$; здесь вертикальная черта $\mid$
читается как <<таких, что>>, а $P$~--- то, что в математической
логике называется {\it предикатом}, то есть, высказыванием, которое
может для каждого объекта $s$ быть истинным или ложным. Для записи
предикатов (и вообще высказываний) полезны значки $\forall$ (<<для
любого>>), $\exists$ (<<существует>>) и $\exists!$ (<<существует
единственный>>). Эти значки называются {\it кванторами} и также имеют
строгий смысл, но для нас они будут служить просто сокращениями
интуитивно понятных фраз <<для любого>>, <<существует>> и <<существует
единственный>>. Например, $\forall x\in\mathbb N, x>-5$ и $\exists!
x\in\mathbb N, 3x=15$~--- истинные
высказывания, а $\forall x\in\mathbb N, x<20$~--- ложное.
Теперь мы можем более точным образом описать множество всех четных
чисел: $\{x\in\mb Z\mid \exists y\in\mb Z: x=2y\}$. Еще одно полезное
сокращение позволяет записать множество четных чисел так: $\{2x\mid
x\in\mb Z\}$. Множество четных чисел мы будем обозначать через $2\mb
Z$.
Обратите внимание, что порядок, в котором идут кванторы в
высказывании, чрезвычайно важен: высказывание $\forall x\in\mb Z\exists
y\in\mb Z:x=y+1$, очевидно, истинно (из любого целого числа можно
вычесть $1$). А вот высказывание $\exists y\in\mb Z\forall x\in\mb
Z:x=y+1$ означает существование такого загадочного целого числа $y$,
которое на единицу меньше любого целого числа. Понятно, что это
высказывание ложно.
На самом деле, запись $\{s\in S\mid s\text{
удовлетворяет свойству }P\}$ задает не просто множество, а
{\it подмножество} множества $S$. Если множество $T$ таково, что любой
элемент множества $T$ является и элементом множества $S$, то говорят,
что $T$ является подмножеством $S$ и пишут $T\subseteq S$. Более
строго, $T\subseteq S$ тогда и только тогда, когда из $x\in T$ следует
$x\in S$. Конструкцию <<из \dots следует \dots>> можно записывать
значком $\Rightarrow$; в определении подмножества тогда можно писать
$x\in T\Rightarrow x\in S$. Заметим, что стрелочка идет только в одну
сторону; если бы было верно и $x\in S\Rightarrow x\in T$, то множества
$S$ и $T$ совпадали бы. Таким образом, если $T\subseteq S$ и
$S\subseteq T$, то $S=T$, поскольку в этом случае $x\in
S\Leftrightarrow X\in T$; множества $S$ и $T$ состоят из
одних и тех же элементов.
Примеры: $\mb N\subseteq\mb Z\subseteq\mb Q\subseteq\mb R$. Кроме
того, $2\mb Z\subseteq\mb Z$. Более того, $\emptyset\subseteq X$ для
любого множества $X$: пустое множество является подмножеством любого
множества. В частности, $\emptyset\subseteq\emptyset$. Не следует
путать значки $\subseteq$ и $\in$: так, $\emptyset\not\in\emptyset$. К
тому же, слева от значка $\in$ может стоять объект любой природы, а
слева от значка $\subseteq$~--- только множество.
Следующее важное понятие~--- {\it мощность} множества. Неформально
говоря, это количество элементов в множестве. Мощность множества $X$
обозначается через $|X|$. Четко различаются два
случая: когда мощность множества конечна и когда она
бесконечна. Если мощность множества конечна, то она измеряется
натуральным числом (вообще говоря, это практически является
определением натурального числа). Например, $|\emptyset|=0$,
$|\{1,2,3\}|=|\{2,1,3,2,2,1\}|=3$. Когда мощность множества $X$ не является
натуральным числом, говорят, что $X$ бесконечно: $|X|=\infty$.
Если множество $X$ конечно, то любое его подмножество $Y$ также
конечно, и $|Y|\leq |X|$. Более того, если $Y$~--- подмножество
конечного множества $X$,
то $|Y|=|X|$ тогда и только тогда,
когда $Y=X$. Если же $Y\subseteq X$ и $Y\neq X$ (в этом случае
говорят, что $Y$~--- {\it собственное подмножество} $X$), то $|Y|<|X|$.
\subsection{Операции над множествами}
\literature{[K1], гл. 1, \S~5, п. 1; [vdW], гл. 1, \S~1.}
Операции над множествами предоставляют массу способов получать новые
множества из уже имеющихся. Мы обсудим по крайней мере следующие
операции:
\begin{itemize}
\item объединение $\cup$,
\item пересечение $\cap$,
\item разность $\setminus$,
\item симметрическая разность $\Delta$,
\item (декартово) произведение $\times$,
\item несвязное объединение (копроизведение) $\coprod$,
\item факторизация $/$.
\end{itemize}
Пересечение $A\cap B$ множеств $A$ и $B$ состоит из всех элементов, лежащих и в
$A$, и в $B$. Более формально, $x\in A\cap B$ тогда и только тогда,
когда $x\in A$ и $x\in B$.
Объединение $A\cup B$ множеств $A$ и $B$ состоит из всех элементов,
лежащих в $A$ или в $B$ (возможно, и в $A$, и в $B$). Иначе говоря,
$x\in A\cup B$ тогда и только тогда, когда $x\in A$ или $x\in B$.
Разность $A\setminus B$ состоит из элементов $A$, не лежащих в $B$:
$A\setminus B=\{x\in A\mid x\not\in B\}$. Иначе говоря, $x\in
A\setminus B$ тогда и только тогда, когда $x\in A$ и $x\not\in B$.
Симметрическая разность $A$ и $B$ состоит из элементов, лежащих ровно
в одном из этих множеств. Это можно записать, например, так: $A\Delta
B=(A\cup B)\setminus(A\cap B)$.
Несвязное объединение $A\coprod B$ предназначено для того, чтобы
объединить два
множества $A$ и $B$ (которые, возможно, имеют непустое пересечение)
так, чтобы в результате элементы из $A$ и из $B$ <<не
перемешались>>: все элементы из $A$ оказались отличными от всех
элементов из $B$. Представьте, что элементы множества $A$ выкрашены в
красный цвет, а элементы $B$~--- в синий цвет. После этого они стали
все различны (их пересечение стало пустым), и мы рассмотрели их
объединение. Если множества $A$ и $B$ конечны, то $|A\coprod
B|=|A|+|B|$.
Произведение множества $A$ и $B$~--- это множество всех упорядоченных
пар $(a,b)$, где $a\in A$, $b\in B$. Запись $(a,b)$ означает, что мы
заботимся о порядке элементов $a,b$ (в отличие от записи
$\{a,b\}$): пара $(a,b)$, вообще говоря, не равна паре $(b,a)$, если
$a\neq b$. Более строго, $(a,b)=(a',b')$ тогда и только тогда, когда
$a=a'$ и $b=b'$.
Итак, $A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,b\in B\}$. Например,
$$
\{1,2,3\}\times\{x,y\}=\{(1,x),(2,x),(3,x),(1,y),(2,y),(3,y)\}.
$$
В
школе изучают декартову плоскость, которая фактически представляет
собой квадрат вещественной прямой: $\mb R^2=\mb R\times\mb
R$. Заметим, что $|A\times B|=|A|\times |B|$ для конечных множеств
$A$, $B$.
Несложно обобщить понятия пересечения и объединения на несколько
множеств: $A_1\cap A_2\cap\dots\cap A_n$, $A_1\cup A_2\cup\dots\cup
A_n$. Например, $A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4=((A_1\cap A_2)\cap
A_3)\cap A_4$; и на самом деле порядок расстановки скобок в таком
выражении не имеет значения. Более интересно попробовать обобщить
понятие произведения; заметим, что $A_1\times (A_2\times A_3)$ не
равно $(A_1\times A_2)\times A_3$. Действительно, первое множество
состоит из упорядоченных пар, первый элемент которых лежит в $A_1$, а
второй является упорядоченной парой элементов из $A_2$ и $A_3$. В то
же время второе множество состоит из совершенно других упорядоченных
пар: первый их элемент является упорядоченной парой элементов из $A_1$
и $A_2$, а второй элемент лежит в множестве $A_3$. Но по аналогии с
упорядоченной парой можно определить {\it упорядоченную тройку} и
получить множество $A_1\times A_2\times A_3=\{(a_1,a_2,a_3)\mid a_1\in
A_1,a_2\in A_2,a_3\in A_3\}$ (не совпадающее ни с $A_1\times(A_2\times
A_3)$, ни с $(A_1\times A_2)\times A_3$!). Совершенно аналогично
определяется {\it упорядоченная $n$-ка} или {\it кортеж} из $n$
элементов $(a_1,\dots,a_n)$, что позволяет определить произведение
$A_1\times A_2\times\dots\times A_n$.
Несложно определить пересечение и объединение для произвольного (не
обязательно конечного) набора множеств: если $(A_i)_{i\in I}$~---
семейство множеств, проиндексированное некоторым индексным множеством
$I$, то $\bigcap_{i\in I}A_i$~--- пересечение множеств $A_i$~---
состоит из элементов, которые лежат в каждом $A_i$, а $\bigcup_{i\in
I}A_i$~--- объединение множеств $A_i$~--- состоит из элементов,
которые лежат хотя бы в одном из $A_i$.
С помощью упорядоченных пар
мы можем более строго определить несвязное объединение множеств
$A$ и $B$: рассмотрим множества $\{0\}\times A$ и $\{1\}\times B$
(состоящие из <<покрашенных элементов>> $(0,a)$ для $a\in A$ и $(1,b)$
для $b\in B$). Теперь все элементы $(0,a)$ и $(1,b)$ уж точно
различны, и можно положить $A\coprod B=(\{0\}\times A)\cup(\{1\}\times
B)$.
\subsection{Отображения}
\literature{[K1], гл. 1, \S~5, п. 2, [vdW], гл. 1, \S~2.}
{\em Наивное определение}: \dfn{отображение}\index{отображение}
$f\colon X\to Y$
сопоставляет
каждому элементу $x\in X$ некоторый элемент $y\in Y$. При этом пишут
$y=f(x)$ или $x\mapsto y$ и $y$ называют \dfn{образом}\index{образ}
элемента $x$ при отображении
$f$. Вместе с каждым отображением нужно помнить его
\dfn{область определения}\index{область определения} $X$ и
\dfn{область значений}\index{область значений} $Y$; например,
отображения
$\mathbb N\to\mathbb N$, $x\mapsto x^2$ и $\mb R\to\mb R$, $x\mapsto
x^2$~--- два совершенно разных отображения.
Для каждого множества $X$ можно рассмотреть \dfn{тождественное
отображение}\index{тождественное отображение} $\id_X\colon X\to X$,
переводящее каждый элемент $x\in X$ в $x$.
С каждым декартовым произведением $X\times Y$ множеств $X$ и $Y$
связаны отображения $\pi_1\colon X\times Y\to X$ и $\pi_2\colon
X\times Y\to Y$, определенные следующим образом: отображение $\pi_1$
сопоставляет паре $(x,y)$ элементов $x\in X$, $y\in Y$ элемент $x$, а
отображение $\pi_2$ сопоставляет этой паре элемент $y$. Эти
отображения называются \dfn{каноническими
проекциями}\index{каноническая проекция}.
Пусть $f\colon X\to Y$~--- отображение, и $A\subseteq X$;
\dfn{образом}\index{образ} подмножества $A$ называется
множество образов всех элементов из $A$: $f(A)=\{y\in Y\mid \exists
x\in A\colon f(x)=y\}=\{f(x)\mid x\in A\}$. Если же $B\subseteq Y$,
можно посмотреть на все элементы $X$, образы которых лежат в
$B$. Получаем \dfn{(полный) прообраз}\index{прообраз} подмножества $B$:
$f^{-1}(B)=\{x\in X\mid f(x)\in B\}$. Вообще, говорят, что $x$
является прообразом элемента $y\in Y$, если $f(x)=y$; таким образом,
полный прообраз подмножества составлен из всех прообразов всех его
элементов.
%17.09.2014
Если $f\colon X\to Y$~--- отображение множеств и $A\subseteq X$, можно
определить \dfn{ограничение}\index{ограничение} отображения $f$ на
$A$. Это отображение,
которое мы будем обозначать через $f|_A$, из $A$ в $Y$, задаваемое,
неформально говоря, тем же правилом, что и $f$. Более точно,
$f|_A(x)=f(x)$ для всех $x\in A$.
Пусть теперь даны два отображения, $f\colon X\to Y$, $g\colon Y\to
Z$. Их \dfn{композиция}\index{композиция} $g\circ f$~--- это новое
отображение из $X$ в
$Z$, переводящее элемент $x\in X$ в $g(f(x))\in Z$. То есть, $(g\circ
f)(x)=g(f(x))$ для всех $x\in X$. Обратите внимание, что мы записываем
композицию справа налево: в записи $g\circ f$ сначала применяется $f$,
а потом $g$.
\begin{theorem}[Ассоциативность композиции]\label{thm_composition_associative}
Пусть $X,Y,Z,T$~--- множества, $f\colon X\to Y$, $g\colon Y\to Z$,
$h\colon Z\to T$. Тогда отображения $(h\circ g)\circ f$ и $h\circ
(g\circ f)$ из $X$ в $T$ совпадают.
\end{theorem}
\begin{proof}
Что значит, что два отображения совпадают? Во-первых, должны совпадать
их области определения и значений; и действительно, $(h\circ g)\circ
f$ и $h\circ (g\circ f)$ действуют из $X$ в $T$. Во-вторых, они должны
совпадать в каждой точке. Возьмем любой элемент $x\in X$ и проверим,
что $((h\circ g)\circ f)(x)=(h\circ (g\circ f))(x)$. Действительно,
$$((h\circ g)\circ f)(x)=(h\circ g)(f(x))=h(g(f(x)))$$
и
$$(h\circ(g\circ f))(x)=h((g\circ f)(x))=h(g(f(x))).$$
\end{proof}
Еще одно полезное свойство композиции: пусть $f\colon X\to Y$~---
отображение. Тогда $f\circ\id_X=\id_Y\circ f=f$. Действительно,
$(f\circ\id_X)(x)=f(\id_X(x))=f(x)$ и $(\id_Y\circ
f)(x)=\id_Y(f(x))=f(x)$.
Все отображения из множества $X$ в множество $Y$ образуют множество,
которое мы будем обозначать через $\Map(X,Y)$ или через
$Y^X$. Последнее обозначение связано с тем, что для конечных $X$, $Y$
имеет место равенство $|Y^X|=|Y|^{|X|}$. В частности, если
$X=\emptyset$, то существует ровно одно отображение из $X$ в $Y$:
$|Y^\emptyset|=1$. Если же, наоборот, $Y=\emptyset$, то для непустого
$X$ отображений из $X$ в $\emptyset$ вообще нет: точке из $X$ нечего
сопоставить. Таким образом, $\emptyset^X=\emptyset$ для непустого
$X$. Наконец, для пустого $Y$, как и для любого другого,
существует ровно одно отображение из $\emptyset$ в $Y$
(тождественное), поэтому $|\emptyset^\emptyset|=1$.
\begin{definition}
Пусть $f\colon X\to Y$~--- отображение.
\begin{enumerate}
\item
$f$ называется \dfn{инъективным отображением}, или
\dfn{инъекцией}\index{инъекция}, если из
$x_1\neq x_2$ следует, что $f(x_1)\neq f(x_2)$ для $x_1,x_2\in
X$. Иными словами, у каждого элемента $Y$ не более одного прообраза.
\item
$f$ называется \dfn{сюръективным отображением}, или
\dfn{сюръекцией}\index{сюръекция}, если
для каждого $y\in Y$ найдется $x\in X$ такой, что $f(x)=y$. Иными
словами, у каждого элеента $Y$ не менее одного прообраза.
\item
$f$ называется \dfn{биективным отображением}, или
\dfn{биекцией}\index{биекция}, если
оно инъективно и сюръективно.
\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{example}
Обозначим через $\mb R_{\geq 0}$ множество неотрицательных
вещественных чисел: $\mb R_{\geq 0}=\{x\in\mb R\mid x\geq
0\}$. Рассмотрим четыре отображения
\begin{eqnarray*}
&&f_1\colon\mb R\to\mb R, x\mapsto x^2;\\
&&f_2\colon\mb R\to\mb R_{\geq 0}, x\mapsto x^2;\\
&&f_3\colon\mb R_{\geq 0}\to\mb R, x\mapsto x^2;\\
&&f_4\colon\mb R_{\geq 0}\to\mb R_{\geq 0}, x\mapsto x^2.
\end{eqnarray*}
\end{example}
Хотя эти отображения задаются одной и той же формулой (возведение в
квадрат), их свойства совершенно различны: $f_4$ биективно; $f_3$
инъективно, но не сюръективно; $f_2$ сюръективно, но не инъективно;
$f_1$ не инъективно и не сюръективно.
\begin{definition}\label{dfn:inverse-map}
Пусть $f\colon X\to Y$~--- отображение. Отображение $g\colon Y\to X$
называется \dfn{левым обратным}\index{обратное отображение!левое} к
$f$, если $g\circ f = \id_X$. Отображение $g\colon Y\to X$ называется
\dfn{правым обратным}\index{обратное отображение!правое} к $f$, если
$f\circ g = \id_Y$. Наконец, $g$ называется
\dfn{[двусторонним] обратным}\index{обратное отображение} к $f$, если
оно одновременно является левым обратным и правым обратным к $f$.
Отображение $f$ называется
\dfn{обратимым слева}\index{обратимое отображение!слева},
если у него есть левое обратное,
\dfn{обратимым справа}\index{обратимое отображение!справа}, если у
него есть правое обратное, и просто
\dfn{обратимым}\index{обратимое отображение} (или
\dfn{двусторонне обратимым}\index{обратимое отображение!двусторонне}),
если у него есть обратное.
\end{definition}
\begin{lemma}\label{lemma:invertible_left_and_right}
Если у отображения $f\colon X\to Y$ есть левое обратное и правое
обратное, то они совпадают. Таким образом, отображение обратимо тогда
и только тогда, когда оно обратимо слева и обратимо справа.
\end{lemma}
\begin{proof}
Пусть у $f$ есть левое обратное $g_L$ и правое обратное $g_R$. По
определению это означает, что
$g_L\circ f=\id_X$ и $f\circ g_R = \id_Y$.
Рассмотрим отображение $(g_L\circ f)\circ g_R$. По теореме об
ассоциативности композиции~\ref{thm_composition_associative} оно равно
$g_L\circ (f\circ g_R)$. С другой стороны,
$(g_L\circ f)\circ g_R = \id_X\circ g_R = g_R$ и
$g_L\circ (f\circ g_R) = g_L\circ\id_Y = g_L$. Поэтому $g_L = g_R$.
\end{proof}
Покажем, что мы на самом деле уже встречали понятия левой, правой и
двусторонней обратимости под другими названиями.
\begin{theorem}\label{thm:sur-inj-reformulations}
Пусть $f\colon X\to Y$~--- отображение.
\begin{enumerate}
\item Пусть $X$ непусто. $f$ обратимо слева тогда и только тогда,
когда $f$ инъективно.
\item $f$ обратимо справа тогда и только тогда, когда $f$ сюръективно.
\item $f$ обратимо тогда и только тогда, когда $f$ биективно.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item
Предположим, что $f$ обратимо слева, то есть, $g\circ f = \id_X$ для
некоторого $g\colon Y\to X$. Покажем инъективность $f$: пусть
$x_1,x_2\in X$ таковы, что $f(x_1) = f(x_2)$. Применяя $g$, получаем,
что $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$. Но $g(f(x)) = (g\circ f)(x) = \id_X(x) =
x$ для всех $x\in X$, поэтому $x_1 = x_2$.
Обратно, предположим, что $f$ инъективно, построим к $f$ левое
обратное отображение $g\colon Y\to X$. В силу непустоты $X$ можно
выбрать некоторый элемент $c\in X$. Для определения отображения $g$
нам нужно задать его значение для каждого $y\in Y$. Возьмем $y\in Y$;
в силу инъективности найдется не более одного элемента $x\in X$
такого, что $f(x) = y$. Если такой элемент (ровно один) есть, положим
$g(y) = x$. Если же его нет, положим $g(y) = c$.
Проверим, что так определенное отображение $g$ действительно является
левым обратным к $f$. Действительно, для всякого $x_0\in X$ элемент
$f(x_0)$ лежит в $Y$, и есть ровно один элемент $x\in X$ такой, что
$f(x) = f(x_0)$~--- это сам $x_0$. Поэтому в силу нашего определения
$g(f(x_0)) = x_0 = \id_X(x_0)$. Мы получили, что для произвольного
$x_0\in X$ справедливо $(g\circ f)(x_0) = \id_X(x_0)$. Поэтому
$g\circ f = \id_X$.
\item
Предположим, что $f$ обратимо справа, то есть, $f\circ g = \id_Y$ для
некоторого $g\colon Y\to X$. Покажем сюръективность $f$; нужно
проверить, что для каждого $y\in Y$ найдется элемент $x\in X$ такой,
что $f(x) = y$. Действительно, положим $x = g(y)$. Тогда
$f(x) = f(g(y)) = (f\circ g)(y) = \id_Y(y) = y$.
Обратно, предположим, что $f$ сюръективно. Построим отображение
$g\colon Y\to X$ такое, что $f\circ g = \id_Y$. Для этого мы должны
определить $g(y)$ для каждого $y\in Y$. В силу сюръективности найдется
хотя бы один элемент $x\in X$ такой, что $f(x) = y$. Тогда положим
$g(y) = x$. Очевидно, что $f(g(y)) = y$ для всех $y\in Y$.
{\small
\begin{remark}\label{remark:axiom-of-choice}
На самом деле тот факт, что мы можем {\it одновременно} для каждого
$y\in Y$ выбрать один какой-нибудь элемент $x\in X$ со свойством
$f(x)=y$, и получится корректно заданное отображение, является одной
из аксиом теории множеств (она
называется~\dfn{аксиомой выбора}\index{аксиома выбора}). Фактически,
она равносильна как раз тому, что мы доказываем: обратимости справа
любого сюръективного отображения. Заметим, что при доказательстве
первого пункта теоремы такой проблемы не возникает: там при построении
левого обратного отображения мы либо выбираем единственный прообраз,
либо (в случае пустого прообраза) отправляем наш элемент в
фиксированный элемент $c$. Здесь же прообраз может быть огромным, и
возможность одновременно в огромном количестве прообразов выбрать по
одному элементу как раз и гарантируется аксиомой выбора. Мы не
обсуждаем строгую формализацию понятия множества, поэтому игнорируем
все проблемы, связанные с аксиомой выбора.
\end{remark}
}
\item Пусть $f$ обратимо. Тогда, очевидно, оно обратимо слева и
обратимо справа. По доказанному выше, из этого следует, что $f$
инъективно и сюръективно (заметим, что в доказательстве того, что из
обратимости слева следует инъективность, мы не использовали
предположение о непустоте $X$). Значит, $f$ биективно.
Обратно, пусть $f$ биективно, то есть, инъективно и
сюръективно. Предположим сначала, что $X$ непусто. Тогда, по
доказанному выше, $f$ обратимо слева и обратимо справа. По
лемме~\ref{lemma:invertible_left_and_right} из этого следует, что
$f$ обратимо. Осталось рассмотреть случай, когда $X =
\emptyset$. Покажем, что в этом случае и $Y = \emptyset$. Для этого
вспомним, что $f$ сюръективно. По определению это означает, что для
каждого $y\in Y$ найдется $x\in X$ такой, что $f(x) = y$. Если $Y$
непусто, то для какого-нибудь элемента $y\in Y$ должен найтись
элемент $x\in X$, а это невозможно, поскольку $X$ пусто. Мы
показали, что $X = Y = \emptyset$; но в этом случае есть
единственное отображение $f\colon X\to Y$ (тождественное), и
единственное отображение $g\colon Y\to X$ будет обратным к нему.
\end{enumerate}
\end{proof}
Если $f\colon X\to Y$~--- некоторое отображение, можно рассмотреть его
\dfn{график}\index{график}
$$
\Gamma_f=\{(x,f(x))\mid x\in X\}\subseteq X\times Y.
$$
Это понятие помогает нам дать точное определение понятию
отображения. Нетрудно видеть, что график отображения $f$ однозначно
определяет само $f$. С другой стороны, какие подмножества $X\times Y$
могут быть графиками отображений из $X$ в $Y$? Нетрудно понять, что
над каждой точкой $x\in X$ должна находиться ровно одна точка $(x,y)$
из графика (у каждой точки $x$ есть ровно один образ). Это приводит
нас к следующему определению.
\begin{definition}
Упорядоченная тройка $(X,Y,\Gamma)$, где $X,Y$~--- множества и
$\Gamma\subseteq X\times Y$, называется
\dfn{отображением}\index{отображение} из $X$ в
$Y$, если
\begin{enumerate}
\item для любого $x\in X$ из того, что $(x,y_1)\in\Gamma$ и
$(x,y_2)\in\Gamma$, следует, что $y_1=y_2$;
\item для любого $x\in X$ существует $y\in Y$ такое, что
$(x,y)\in\Gamma$.
\end{enumerate}
\end{definition}
\subsection{Бинарные отношения}
\literature{[K1], гл. 1, \S~6, п. 1.}
\begin{definition}
\dfn{Бинарным отношением}\index{отношение!бинарное} на множестве $S$
называется подмножество
$R\subseteq S\times S$. Если $(x,y)\in S$, говорят, что
\dfn{$x$ находится в отношении $R$ с $y$}\index{отношение}, и пишут
$xRy$.
\end{definition}
%24.09.2014
\begin{examples}\label{examples:relations}
Отношение $\geq$ на множестве $\mb R$: $\geq=\{(x,y)\in\mb R\times\mb
R\mid x\geq y\}$. Аналогично~--- на множестве $\mb Z$, или
на множестве $\mb N$. Отношения $\leq$, $>$, $<$ на тех же
множествах. Отношение равенства на $\mb R$: $\{(x,x)\mid x\in\mb
R\}$~--- аналогично на любом множестве.
Отношение делимости на целых числах (точное определение будет
дано во второй главе).
На множестве всех прямых на декартовой плоскости можно ввести
отношение параллельности и отношение перпендикулярности.
\end{examples}
Для визуализации отношений полезно рисовать их графики~---
изображать множества точек, координаты которых лежат в данном
отношении.
\subsection{Отношения эквивалентности}
\literature{[K1], гл. 1, \S~6, п. 2; [vdW], гл. 1, \S~5.}
Определение отношения достаточно общее; на практике встречаются
отношения,
удовлетворяющие некоторым из следующих свойств.
\begin{definition}
Пусть $R\subseteq X\times X$~--- бинарное отношение на множестве $X$.
\begin{enumerate}
\item $R$ называется \dfn{рефлексивным}\index{отношение!рефлексивное},
если для любого $x\in X$
выполнено $xRx$.
\item $R$ называется \dfn{симметричным}\index{отношение!симметричное},
если для любых $x,y\in X$ из
$xRy$ следует $yRx$.
\item $R$ называется \dfn{транзитивным}\index{отношение!транзитивное},
если для любых $x,y,z\in X$
из $xRy$ и $yRz$ следует $xRz$.
\item $R$ называется \dfn{отношением
эквивалентности}\index{отношение!эквивалентности}, если оно
рефлексивно, симметрично и транзитивно.
\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{examples}
Посмотрим на примеры~\ref{examples:relations}.
Нетрудно видеть, что отношения $\geq$, $\leq$, $>$, $<$ на множестве
$\mb R$ транзитивны, но не симметричны. При этом отношения $\geq$ и
$\leq$ рефлексивны. Отношение равенства на любом множестве является
отношением эквивалентности. Отношение делимости рефлексивно и
транзитивно. Отношение параллельности прямых на плоскости (если
учесть, что прямая параллельна самой себе) является отношением
эквивалентности. Отношение перпендикулярности симметрично, но не
рефлексивно и не транзитивно.
\end{examples}
\begin{definition}\label{def_equiv_class}
Пусть $\sim$~--- отношение эквивалентности на множестве $X$. Для
элемента $x\in X$ рассмотрим множество $\{y\in X\mid y\sim x\}$. Мы
будем обозначать его через $\overline{x}$ или $[x]$ и называть
\dfn{классом эквивалентности}\index{класс эквивалентности} элемента $x$.
\end{definition}
\begin{theorem}[О разбиении на классы эквивалентности]\label{thm_quotient_set}
Пусть $\sim$~--- отношение эквивалентности на множестве $X$.
Тогда $X$ разбивается на классы эквивалентности, то есть, каждый
элемент множества $X$ лежит в каком-то классе, и любые два класса либо
не пересекаются, либо совпадают.
\end{theorem}
\begin{proof}
Из рефлексивности следует, что $x\in\overline{x}$, поэтому каждый
элемент лежит в каком-то классе. Пусть $\overline{x}$ и
$\overline{y}$~--- два класса эквивалентности и
$\overline{x}\cap\overline{y}\neq\emptyset$. Выберем
$z\in\overline{x}\cap\overline{y}$; тогда $z\sim x$ и $z\sim
y$. Докажем, что на самом деле $\overline{x}=\overline{y}$, проверив
включения в обе стороны. Возьмем $t\in\overline{x}$; тогда $t\sim
x$, $x\sim z$, $z\sim y$, откуда $t\sim y$, то есть,
$t\in\overline{y}$. Поэтому
$\overline{x}\subseteq\overline{y}$. Аналогично,
$\overline{y}\subseteq\overline{x}$.
\end{proof}
\begin{definition}\label{def_quotient_set}
Пусть $\sim$~--- отношение эквивалентности на множестве $X$.
Множество всех классов эквивалентности элементов $X$ называется
\dfn{фактор-множеством}\index{фактор-множество} множества $X$ по
отношению $\sim$ и
обозначается через $X/\sim$. Отображение $\pi\colon X\to X/\sim$,
сопоставляющее каждому элементу $x\in X$ его класс эквивалентности
$\overline{x}$, называется
\dfn{канонической проекцией}\index{каноническая проекция} множества
$X$ на фактор-множество $X/\sim$. Нетрудно видеть, что это отображение
сюръективно.
\end{definition}
\subsection{Метод математической индукции}
\literature{[K1], гл. 1, \S~7; [vdW], гл. 1, \S~3; [B], гл. 1, п. 2.}
Пусть $P(n)$~--- набор высказываний, зависящий от натурального
параметра $n$. \dfn{Принцип математической индукции}\index{принцип
математической индукции} гласит, что если
$P(0)$
истинно (\dfn{база индукции}\index{база индукции}) и для любого
натурального $k$ из истинности $P(k)$ следует истинность
$P(k+1)$ (\dfn{индукционный переход}\index{индукционный переход}), то
$P(n)$
истинно для всех натуральных $n$.
Эквивалентная переформулировка принципа математической индукции
гласит, что в любом непустом множестве натуральных чисел есть
минимальный элемент. Этот принцип (или какой-то равносильный ему), как
правило, принимается за аксиому в современных аксиоматиках натуральных
чисел.
Покажем, что если в любом непустом множестве натуральных чисел есть
минимальный элемент, то принцип математической индукции
выполняется. Будем действовать от противного: предположим, что $P(0)$
истинно, и для любого $k\in\mb N$ из истинности $P(k)$ следует
истинность $P(k+1)$, но, в то же время, $P(n)$ истинно не для всех
$n$. Пусть $A\subseteq\mb N$~--- множество натуральных чисел $n$, для
которых $P(n)$ ложно; оно непусто по нашему предположению.
Тогда в $A$ есть минимальный элемент $a$. Если $a=0$, то $P(0)$ ложно
(поскольку $a\in A$), что противоречит базе индукции. Если же $a>0$,
то $a-1$ также является натуральным числом, и $a-1\notin A$ в силу
минимальности. Поэтому $P(a-1)$ истинно. Но тогда из индукционного
перехода следует, что и $P(a) = P((a-1)+1)$ истинно~--- противоречие.
Принципа математической индукции равносилен следующему
принципу полной индукции: пусть
$P(n)$~--- набор высказываний, зависящий от натурального параметра
$n$. Если $P(0)$ истинно и из истинности $P(0), P(1),\dots,P(k)$
следует истинность $P(k+1)$, то $P(n)$ истинно для всех натуральных $n$.
\subsection{Операции}
\literature{[K1], гл. 4, \S~1, п. 1.}
\begin{definition}
Пусть $X$~--- множество. \dfn{Бинарной
операцией}\index{операция!бинарная} на множестве $X$
называется отображение $X\times X\to X$.
\end{definition}
\begin{examples}
Отображения $\mb R\times\mb R\to\mb R$, задаваемые формулами
$(a,b)\mapsto a+b$, $(a,b)\mapsto ab$, $(a,b)\mapsto a-b$, являются
бинарными операциями. Отображение $(a,b)\mapsto a^b$ является бинарной
операцией на множестве $\mb N$.
\end{examples}
\begin{definition}
Пусть $\ph\colon X\times X\to X$~--- бинарная операция на множестве $X$.
\begin{enumerate}
\item Операция $\ph$ называется
\dfn{ассоциативной}\index{операция!ассоциативная}\index{ассоциативность}, если
$\ph(\ph(a,b),c)=\ph(a,\ph(b,c))$ выполняется для всех
$a,b,c\in X$.
\item Операция $\ph$ называется
\dfn{коммутативной}\index{операция!коммутативная}\index{коммутативность},
если
$\ph(a,b)=\ph(b,a)$ выполняется для всех $a,b\in X$.
\end{enumerate}
\end{definition}
Нетрудно видеть, что операции сложения и умножения на множестве
вещественных чисел являются ассоциативными и коммутативными, а вот
возведение в степень
натуральных чисел не является ни
ассоциативной, ни коммутативной операцией.
\begin{definition}
Пусть $\bullet$~--- бинарная операция на множестве $X$.
Элемент $e\in X$ называется
\dfn{левым нейтральным}\index{нейтральный элемент!левый}
(или \dfn{левой единицей}\index{единица!левая}) по отношению к операции
$\bullet$, если $e\bullet x = x$ для любого $x\in X$. Элемент $e\in X$
называется
\dfn{правым нейтральным}\index{нейтральный элемент!правый} (или
\dfn{правой единицей}\index{единица!правая}) по
отношению к $\bullet$, если
$x\bullet e = x$ для любого $x\in X$. Элемент $e\in X$ называется
\dfn{нейтральным}\index{нейтральный элемент} (или
\dfn{единицей}\index{единица}), если он одновременно является
левым и правым нейтральным.
\end{definition}
Отметим, что бинарная операция возведения в степень на множестве
$\mb R$ обладает правой единицей (это $1$: действительно, $a^1 = a$),
но не обладает левой единицей.
\begin{lemma}
Если $\bullet\colon X\times X\to X$~--- бинарная операция,
и в $X$ есть правая единица и левая единица относительно
$\bullet$, то они совпадают.
\end{lemma}
\begin{proof}
Действительно, если $e_L\in X$~--- левая единица, а $e_R\in X$~---
правая единица, то по определению левой единицы выполнено $e_L\bullet
e_R = e_R$, а по определению правой единицы выполнено $e_L\bullet e_R
= e_L$. Поэтому
$e_L = e_L\bullet e_R = e_R$.
\end{proof}
\begin{definition}
Пусть $\bullet$~--- бинарная операция на множестве $X$, и в $X$ есть
нейтральный элемент $e$ относительно этой операции.
Пусть $x\in X$. Элемент $y\in X$ называется
\dfn{левым обратным}\index{обратный элемент!левый}
(относительно операции $\bullet$) к $x$, если $yx = e$.
Элемент $y\in X$ называется
\dfn{правым обратным}\index{обратный элемент!правый} (относительно
операции $\bullet$) к $x$, если $xy = e$.
Если $y\in X$ одновременно является левым и правым обратным к
$x$, то он называется просто \dfn{обратным}\index{обратный элемент} к
$x$. Элемент $x$ называется
\dfn{обратимым слева}\index{обратимый элемент!слева},
если у него есть левый
обратный, \dfn{обратимым справа}\index{обратимый элемент!справа},
если у него есть правый обратный, и
\dfn{обратимым}\index{обратимый элемент}, если у него есть обратный.
\end{definition}
\begin{lemma}
Пусть $\bullet$~--- бинарная операция на множестве $X$, и в $X$ есть
нейтральный элемент $e$ относительно это операции. Предположим, что
операция $\bullet$ ассоциативна. Пусть элемент $x$ обратим слева и
обратим справа. Тогда он обратим. Иными словами, если у элемента есть
левый и правый обратный относительно ассоциативной операции, то они
совпадают.
\end{lemma}
\begin{proof}
Пусть $y_L$~--- левый обратный к $x$, а $y_R$~--- правый обратный к
$x$. По определению это означает, что $y_L\bullet x = e$
и $x\bullet y_R = e$. Но тогда
$$
y_R = e\bullet y_R = (y_L\bullet x)\bullet y_R = y_L\bullet (x\bullet y_R) =
y_L\bullet e = y_L
$$
(обратите внимание, что в середине мы воспользовались ассоциативностью
операции $\bullet$).
\end{proof}
Пусть на $X$ задана бинарная операция $\bullet$, и $a,b,c\in
X$. Выражение $a\bullet b\bullet c$ не определено: для его однозначной
интерпретации необходимо расставить скобки, и получится либо
$(a\bullet b)\bullet c$, либо $a\bullet (b\bullet c)$. Если операция
$\bullet$ ассоциативна, то результат вычисления этих двух выражений
одинаков. Пусть теперь $a,b,c,d\in X$. Скобки в выражении $a\bullet
b\bullet c\bullet d$ можно расставить уже пятью вариантами:
$$
((a\bullet b)\bullet c)\bullet d,\quad
(a\bullet (b\bullet c))\bullet d,\quad
(a\bullet b)\bullet (c\bullet d),\quad
a\bullet((b\bullet c)\bullet d),\quad
a\bullet (b\bullet (c\bullet d)).
$$
Оказывается, что если операция $\bullet$ ассоциативна, то результат
вычисления всех этих выражений одинаков.
Аналогично, в выаржении любой длины для указания порядка, в котором
выполняются операции, необходимо расставить скобки. Оказывается, для
ассоциативной операции результат выполнения
не зависит от порядка расстановки скобок. Это
свойство называется \dfn{обобщенной
ассоциативностью}\index{ассоциативность!обобщенная}. Поэтому для
ассоциативных операций ставить скобки в подобных выражениях не
обязательно.
\begin{theorem}
Если на множестве $X$ задана ассоциативная операция $\bullet$, то она
обладает обобщенной ассоциативностью: результат вычисления выражения
$x_1\bullet x_2\bullet\dots\bullet x_n$ не зависит от расстановки в
нем скобок.
\end{theorem}
\begin{proof}
Будем доказывать индукцией по $n$. База $n=3$ является определением
ассоциативности. Пусть теперь $n>3$, и для всех меньших $n$ теорема
уже доказана.
Достаточно показать, что результат при любой расстановке скобок
совпадает с результатом при следующей расстановке, в которой все скобки
<<сдвинуты влево>>
$$
(\dots ((x_1\bullet x_2)\bullet x_3)\bullet\dots\bullet x_n).
$$
Возьмем произвольную расстановку и посмотрим на действие, которое
выполняется последним: оно состоит в перемножении некоторого выражения
от $x_1,\dots,x_k$ и некоторого выражения от $x_{k+1},\dots,x_n$:
$$
(\dots x_1\bullet\dots\bullet x_k\dots) \bullet
(\dots x_{k+1}\bullet\dots\bullet x_n\dots).
$$
При этом $1 \leq k < n$.
Предположим сначала, что $k = n-1$. Тогда последняя операция состоит в
перемножении скобки, в которой стоят $x_1,\dots,x_{n-1}$, на $x_n$. В
выражении от $x_1,\dots,x_{n-1}$ мы можем, по предположению индукции,
сдвинуть все скобки влево, не меняя результата. Приписывая справа
$x_n$, получаем как раз выражение нужного вида уже от
$x_1,\dots,x_n$, и доказательство закончено.
Пусть теперь $k<n-1$. Заметим, что во второй скобке стоят
$x_{k+1},\dots,x_n$~--- здесь хотя бы два элемента, и меньше, чем
$n$. По предположению индукции мы можем расставить в этом выражении
скобки нашим выбранным способом, не меняя результата:
$$
\underbrace{\left(\dots x_1\bullet\dots\bullet x_k\dots\right)}_{A} \bullet
(\underbrace{(\dots (x_{k+1}\bullet x_{k+2})\bullet\dots\bullet x_{n-1})}_B\bullet\underbrace{x_n}_C)
$$
(тут нужно отметить, что рассуждение работает и при $k=n-2$; в этом
случае во второй скобке стоит лишь два элемента, и формально мы не
можем применить предположение индукции, но в этом нет ничего страшного).
Применим теперь ассоциативность к полученному выражению вида
$A\bullet (B\bullet C)$ и заменим его на $(A\bullet B)\bullet C$:
$$
(\underbrace{\dots x_1\bullet\dots\bullet x_k\dots}_{A} \bullet
\underbrace{\dots (x_{k+1}\bullet x_{k+2})\bullet\dots\bullet x_{n-1}}_B)\bullet\underbrace{x_n}_C)
$$
Заметим, что теперь последняя выполняемая операция~--- умножения
некоторого выражения от переменных $x_1,\dots,x_{n-1}$ на $x_n$. Это
означает,
что мы свели задачу к уже разобранному случаю $k=n-1$; теперь можно,
как и выше, воспользоваться предположением индукции, расставить скобки
в выражении от $x_1,\dots,x_{n-1}$ нужным образом, и мы сразу получим
необходимую расстановку.
\end{proof}