| number | course | material | author |
|---|---|---|---|
4 |
Informatyka 2 |
Instrukcja 4 |
P. Szałtys, rev. W. Gryglas |
Pliki do wykorzystania w poniższym ćwiczeniu można pobrać za pomocą poniższych linków:
Celem dzisiejszych zajęć jest zapoznanie się z podstawowymi metodami całkowania numerycznego równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu. Większość procesów fizycznych w otaczającym nas świecie można zamodelować, korzystając właśnie z równań różniczkowych. Niestety większości z wyprowadzonych przez nas równań nie da się rozwiązać w sposób analityczny (tj. podać rozwiązania w postaci jawnej). W szczególności, największe problemy sprawiają równania zawierające człony nieliniowe. Świat, w którym żyjemy, jest silnie nieliniowy (inaczej życie byłoby nudne), dlatego większość problemów, które przyjdzie nam rozwiązywać, nie będzie posiadać rozwiązania... A przynajmniej rozwiązania w formie analitycznej. Stąd płynie nasza motywacja do zagłębienia się w świat całkowania numerycznego równań różniczkowych, który pozwoli nam lepiej zrozumieć otaczającą nas rzeczywistość! Jako pierwszą poznamy metodę pierwszego rzędu zwaną (od nazwiska odkrywcy) jawną metodą Eulera. Jest ona jednocześnie najprostszą i (niestety) bardzo niestabilną metodą. Drugą metodą, którą zastosujemy na dzisiejszych zajęciach, będzie metoda Rungego-Kutty 4-go rzędu. Jest to jawna metoda wielokrokowa, która charakteryzuje się wysokim rzędem, łatwością w implementacji oraz relatywnie wysoką stabilnością.
Metodę Eulera wykorzystamy do rozwiązania zagadnienia początkowego w postaci:
$$ \frac{dy}{dt} = f(t,y) $$
$$ y(t_0) = y_0 $$
Stosując następujący schemat iteracyjny:
$$ t_{i+1} = t_{i} + h $$
$$ y_{i+1} = y_i + h \cdot f(t_i , y_i ) $$
Gdzie:
Dane jest zagadnienie początkowe: $$ \left{ \begin{array}{ccc} \frac{dy}{dt} &=& \lambda \cdot y(t) \ y(t_0) &=& y_0 \ \end{array} \right. $$ Rozwiązanie dokładne ma postać: $$ y(t) = y_0 · e^{\lambda(t−t_0)} $$
- Napisz program rozwiązujący dane zagadnienie, z wykorzystaniem schematu Eulera.
- Napisz program rozwiązujący dane zagadnienie, z wykorzystaniem schematu RK4
- Dla obu przypadków wyświetl na monitorze kolejne wartości
$t$ ,$y$ oraz względną wartość błędu:$\varepsilon = \frac{|y-y_\text{analityczne}|}{|y_\text{analityczne}|}$ . - Zmodyfikuj program tak aby wykonywał obliczenia jedną i druga metodą dla zadanego
$t_k$ i liczby kroków:$2^0$ ,$2^1$ , \ldots,$2^6$ . Wydrukuj do pliku: liczbę kroków,$h$ , błąd metody Eulera i błąd metody RK4 dla ostatniego kroku czasowego. - Sporządź wykres błędu metody w funkcji
$h$ i oszacuj rząd zbieżności.