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<title>Aula 13 - Matrizes definidas positivas </title>
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<div style="background-color: rgb(126, 15, 34);
border: slategray;
border-width: 10px;
border-style: groove;">
<h2 style="color: rgb(250, 250, 250);">Tópico 13 <br> Matrizes Definidas Positivas
<h4 style="color: white;">Pedro Aladar Tonelli</h4></div>
</section>
<section>
<h4 style="color: green;"> Matrizes Simétricas </h4>
<p> Uma matriz $A\in \mathbb{R}^{n\times n}$ é simétrica se $A=A^T$
</p>
<p>Propriedades:
<ul>
<li>Os autovalores são todos reais</li>
<li>Tem $n$ autovetores ortogonais</li>
<li> $A= G^T \Lambda G$ (teorema espectral) </li>
<li> $A = LDL^T$ (Cholesky)</li>
</ul>
</p>
</section>
<section><h4 style="color: green;"> Matrizes Positivas </h4>
Uma matriz simétrica $A$ é definida positiva quando
\begin{gather}
\langle x,Ax \rangle > 0 \forall x \neq 0 \\
\langle x,y \rangle = \sum_{i=1}^n x_iy_i
\end{gather}
</section>
<section><h4 style="color: green;"> Exemplos </h4>
\begin{gather}
A_1 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1
\end{bmatrix}\text{ } A_2 =\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2
\end{bmatrix} \\
A_3 = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 10
\end{bmatrix}\text{ } A_4=\begin{bmatrix} a & b \\ b & c
\end{bmatrix}
\end{gather}
</section>
<section> <h4 style="color: green;"> Teorema </h4>
<p>São equivalentes:
<ol>
<li> $\langle x,Ax \rangle > 0 \forall x \neq 0$</li>
<li> Todos os autovalores de $A$ são positivos </li>
<li> $\operatorname{det}(A_k)>0$ com $A_k =A[1:k,1:k]$</li>
<li> Os pivôs da matriz $D$ na decomposição de Cholesky são positivos.</li>
</ol>
</p>
</section>
<section><h4 style="color: green;"> Exemplo importante </h4>
<p> Se $B$ é uma matriz quadrada qualquer então $A=BB^T$ é semi-definida positiva, isto é</p>
$$ \langle x,Ax \rangle \geq 0 \forall x \neq 0$$
$A$ pode não ser invertível
</section>
<section><h4 style="color: green;"> Outro Teorema </h4>
<p> Uma matriz simétrica $A$ é definida positiva se e somente se
existe uma matriz $R$ com $n$ colunas LI (posto $n$) tal que
$$ A = R^TR $$
</p>
</section>
<section><h4 style="color: green;"> Formas quadráticas </h4>
<p>Se $A$ é uma matriz simétrica então a função
$f_A: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ definida por $f_A(x)=\langle x,Ax \rangle$
é uma forma quadrática. Se $A$ é definida positiva, a forma quadrática também é dita
definida positiva.
</p>
</section>
<section> <h4 style="color: green;"> Otimização </h4>
<p>Se $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ é uma função diferenciável na origem.
Então seu desenvolvimento em série de Taylor em torno da origem começa com:
\begin{gather} f(x,y)= f(0,0) + x\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)x + \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)y + \\
\frac{1}{2!}\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(0,0)x^2 +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(0,0)y^2 +
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0,0)xy\right) + \dots
\end{gather}
</p>
</section>
<section>
<h4 style="color: green;"> Elipsoides </h4>
No caso de uma matriz definida $A$ positiva o conjunto
$$ \mathcal{E} = \{ x\in \mathbb{R}^n : f_A(x) =1\} $$
define um Elipsoide com os eixos principais coincidindo com as
direções dos autovetores, e $\frac{1}{\sqrt{\lambda_i}}$ os raios do elipsoide na
direção do correspondente eixo.
</section>
<section>
<figure>
<img src="elipsoid1.png">
</figure>
</section>
<section>
<figure>
<img src="ellipsoid2.png">
<figcaption>Figuras feitas no <a href="https://c3d.libretexts.org/CalcPlot3D/index.html">C3D</a></figcaption>
</figure>
</section>
<section>
<h4 style="color: green;"> Relação de congruência </h4>
<p>Diremos que duas matrizes simétricas, $A_1$ e $A_2$ são congruentes, quando existir
uma matriz invertível $P$ tal que
$$ A_2 = P^TA_1P$$
Note que elas não precisam ser semelhantes.
</p>
</section>
<section>
<h4 style="color: green;"> Exemplos </h4>
\begin{gather}
A=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0
\end{bmatrix}\text{ } B= \begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 0
\end{bmatrix} \\
C=\begin{bmatrix}2 & 0 \\ 0 & 1
\end{bmatrix}\text{ }D=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1
\end{bmatrix}
\end{gather}
</section>
<section>
Se $A$ é uma matriz simétrica, e $A=G^T\Lambda G$ é uma decomposição espectral
<ul>
<li> O número de autovalores positivos de $A$, chamaremos de índice ($p$)</li>
<li> Assinatura de $A$ é o número de autovalores positivos menos os negativos ($p-n$)</li>
<li> O posto de $A$ é $r$</li>
</ul>
</section>
<section>
<h4 style="color: green;"> Teorema da inércia de Sylvester </h4>
<p> $A$ e $B$ são matrizes congruentes se, e somente se, possuem o mesmo
índice $p$ a mesma assinatura $a$ e o mesmo posto $r$
</p>
</section>
</div>
</div>
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