[Scheda 1] Esercizio 3

[matypist]

Esercizio 3. Un numero di telefono di sei cifre viene composto digitando a caso sulla tastiera (10 tasti). Calcolare la probabilità dei seguenti eventi

a) il numero non contiene il 6;
b) il numero contiene solo cifre pari;
c) il numero contiene la stringa 2345;
d) il numero contiene la stringa 2222.

[matypist]

Trascrizione in LaTeX appunti di Emanuele Errante della correzione fatta a lezione dal professore:

[MarcoDiGio]

d.) Definiamo caso 1 come il caso in cui le prime 4 cifre sono 2 (2222--), caso 2 come il caso in cui le cifre di mezzo sono 2 (-2222-), caso 3 come il caso in cui le ultime 4 cifre sono 2 (--2222).
Possiamo notare che alcune combinazioni rientrano in più di un caso (per esempio -22222 rientra sia nel caso 2 che nel caso 3), per cui bisogna ricorrere al principio di inclusione/esclusione.
caso 1 ^ caso 2 = 'tutte le prime 5 cifre sono uguali a 2' (22222-) = 9
caso 2 ^ 3 = caso 1 ^ caso 2 ^ caso 3 = 'tutte le cifre uguali a 2' (222222) = 1
caso 2 ^ caso 3 = 'le ultime 5 cifre sono uguali a 2' (-22222) = 9.
Per la formula si ha: 3*10^2-9-1-9-1= 280 casi favorevoli.
I casi totali sono 10^6, per cui 280/10^6 = 28/10^5.
Fonte (pagina 36 esercizio 3): https://www.mat.uniroma1.it/mat_cms/materiali/2012-2013/nappo-23422-lezioni-CALCOLO_PROBABILITA_INFORMATICA-2012-13-FINALE-concorrezioni.pdf

[matypist]

Il risultato che segue dalla soluzione di @MarcoDiGio alla lettera d coincide con i risultati negli appunti di Emanuele Errante della correzione fatta a lezione dal professore

Propongo inoltre di seguito un'altra possibile tipizzazione che porta allo stesso risultato:
a. $2222xy$ con $x \neq 2 \implies 9 * 10$ casi
b. $x2222y$ con $x, y \neq 2 \implies 9^2$ casi
c. $xy2222$ con $x, y \neq 2 \implies 10 * 9$ casi
d. $22222x$ con $x \neq 2 \implies 9$ casi
e. $x22222$ con $x \neq 2 \implies 9$ casi
f. $\ 222222 \implies 1$ caso

Per un totale di $9 * 10 + 9^2 + 10 * 9 + 9 + 9 + 1 = 280$ casi favorevoli e di conseguenza una probabilità di $\frac{280}{10^6}$

Per quanto riguarda i risultati delle altre lettere (a, b e c) sono state confermate da i0nut02 e potete considerarle confermate anche da me. Possiamo quindi assumere le soluzioni come corrette e pertanto l'esercizio come risolto.