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\documentclass[Thesis.tex]{subfiles}
\begin{document}
\chapter{Introduction}
\begin{figure}
\centering
\resizebox{\textwidth}{!}{
\includegraphics[height=4.8cm]{circle_domain_euclidean/three_holes_map.pdf}
\raisebox{0.25cm}{
\includegraphics[height=4.5cm]{elliptic_curves/tetrahedron.pdf}
}
\includegraphics[height=5cm]{data/hyperelliptic_g3/cover_mesh}
}
\caption{
Discrete uniformizations of Riemann surfaces.
Left: Region with four boundary components is mapped conformally to a domain bounded by circles, see Section~\ref{sec:circle_domains}.
Middle: Uniformization of a discrete version of an elliptic curve. The image is a flat torus, see Section~\ref{sec:elliptic_curves}.
Right: Uniformization of a hyperelliptic algebraic curve with a regular fundamental domain, see Section~\ref{sec:hyperelliptic}.\\
\it Diskrete Uniformisierungen von Riemannschen Fl\"{a}chen.
Links: Ein Gebiet mit vier Randkomponenten wird auf einen von Kreisen begrenzten Bereich abgebildet, siehe Abschnitt~\ref{sec:circle_domains}.
Mitte: Uniformisierung einer diskret elliptischen Kurve. Das Bild ist ein flacher Torus, siehe Abschnitt~\ref{sec:elliptic_curves}.
Rechts: Uniformisierung einer hyperelliptischen algebraischen Kurve mit einem regul\"{a}ren Fundamentalpolygon, siehe Abschnitt~\ref{sec:hyperelliptic}.
}
\label{fig:intro_uniformizations}
\end{figure}
The notion of discrete conformal equivalence of triangle meshes was introduced by Luo~\cite{Luo2004:Yamabe} and elaborated in detail by Springborn {\it et al.}~\cite{Springborn2008} and Bobenko {\it et al.}~\cite{BPS2015:dconf}.
Two combinatorially equivalent euclidean triangle meshes are conformally equivalent if there exist scale factors associated to vertices such that corresponding edge lengths are equal up to multiplication with adjacent scale factors.
The problem of finding a discrete conformal map from a triangulated surface to the plane is formulated in terms of a variational principle using scale factors as variables.
Whereas the theoretical foundations of discrete conformal mappings via discrete conformal equivalence were arranged in previous work, this thesis focuses on the experimental side of the theory.
In the spirit of discrete differential geometry we look at theorems and constructions from the geometry of Riemann surfaces and find analogous discrete constructions with similar properties.
We investigate the generalization to cyclic polyhedral surfaces, which was only touched upon in previous work.
We also give details on the spherical version of the theory that was put aside previously.
This thesis is divided into three parts.
Part~I covers the discrete uniformization of Riemann surfaces via conformal equivalence of cyclic polyhedral surfaces.
We generalize the previously established variational principles accordingly and present a wealth of constructions and examples.
Taken from smooth differential geometry and translated to the discrete setting we observe properties known from classic theorems.
This culminates in a theorem about hyperelliptic Riemann surfaces.
A Riemann surface is hyperelliptic if and only if the axes of the uniformization group elements meet in a common point for a suitable basis of the group, see Figure~\ref{fig:intro_uniformizations} right.
The tools created in the development of the methods used in this part lay the foundations for the applications presented in Part~\ref{part:applications}.
\begin{figure}
\centering
\resizebox{\textwidth}{!}{
\includegraphics[height=4cm]{images/quantized_singularities5.pdf}
\includegraphics[height=4cm]{image/aag2012/dach_example01_circles.pdf}
}
\caption{
Two applications of discrete conformal mappings in architectural geometry.
Left: A panel layout on a facade structure with size-quantized regular hexagons, see Chapter~\ref{chp:periodic_conformal_maps}.
Right: A circle pattern on a roof structure.
We calculate discrete s-isothermic parameterizations for surfaces that are close to isothermic.
The resulting meshes exhibit planar faces.
The mesh layout follows the directions of principle curvature, see Chapter~\ref{chp:quasiisothermic}.\\
\it Zwei Anwendungen von diskret konformen Abbildungen in der Architekturgeometrie.
Links: Ein Paneellayout auf einer architektonischen Fassadenoberfl\"{a}che.
Die Paneele sind gr\"{o}{\ss}enquantisierte regul\"{a}re Sechsecke, siehe Kapitel~\ref{chp:periodic_conformal_maps}.
Rechts: Kreismuster auf einer Dachoberfl\"{a}che.
In Kapitel~\ref{chp:quasiisothermic} berechnen wir diskrete s-isotherme Parametrisierungen f\"{u}r Fl\"{a}chen, die nahe an Isothermfl\"{a}chen sind.
Die Ergebnisnetze haben ebene Facetten, die Kanten folgen den Hauptkr\"{u}mmungsrichtungen der Fl\"{a}che.
}
\label{fig:intro_applications}
\end{figure}
In Part~\ref{part:applications} we present three applications of discrete conformal mappings in the context of architectural geometry.
In Chapter~\ref{chp:periodic_conformal_maps} we calculate regular patterns on architectural facade geometries with a period.
We investigate how different boundary conditions affect the local behavior of the map.
The resulting map is used to create new meshes with regular faces such as hexagons.
We show how these meshes can be optimized towards a facade panel layout that can be fabricated in an efficient manner, see Figure~\ref{fig:intro_applications} left.
In Chapter~\ref{chp:quasiisothermic} we exploit the fact that isothermic surfaces possess a conformal curvature line parametrization to create meshes with planar quadrilaterals and touching incircles.
This problem is formulated as a boundary value problem of discrete conformal maps.
As a result we obtain circle pattern representations of surfaces relevant in the architectural context, see Figure~\ref{fig:intro_applications} right.
In Chapter~\ref{chp:gridshells} we use discrete conformal maps as initialization for discrete Tschebyshev meshes, i.e., meshes with edges of equal length.
Starting from a discrete conformal map, we perform non-linear optimization on quadrilateral meshes.
In doing so we control the curvature and intersection angles of parameter curves in the resulting gridshell construction.
The third part of this work introduces the reader to the software framework built for calculation with discrete surfaces and in particular with discrete conformal mappings, see Chapter~\ref{chp:conformallab} about {\sc ConformalLab}, and discrete surface optimization, Chapter~\ref{chp:varylab} about {\sc VaryLab}.
Additionally the author has implemented the software packages {\sc HalfEdge} and {\sc HalfEdgeTools}, see Chapter~\ref{chp:halfedge}, designed as a general tool for the calculation with discrete surfaces.
Together with the user interface library {\sc JRWorkspace}, Chapter~\ref{chp:jrworkspace}, it constitutes a flexible framework for the creation of research applications in the context of discrete differential geometry.
The digital data accompanying this work includes most of the examples presented in Chapter~\ref{chp:uniformization} and the main files for the architectural applications.
Additionally we include the current state of the source code of the programming framework presented in Part~\ref{part:implementation}.
The organization of the data is presented in the appendix.
\section*{Deutsche \"{U}bersetzung}
Diskret konforme \"{A}quivalenz von Dreiecksnetzen wurde von Luo eingef{\"u}hrt~\cite{Luo2004:Yamabe} und von Springborn {\it et al.}~\cite{Springborn2008} sowie Bobenko {\it et al.}~\cite{BPS2015:dconf} ausf{\"u}hrlich behandelt.
Zwei euklidische Triangulierungen mit gleicher Konnektivit\"{a}t sind diskret konform \"{a}quivalent, wenn es Faktoren pro Ecke gibt, so dass entsprechende Kanten bis auf Multiplikation mit den Faktoren die gleiche L\"{a}nge haben.
Die konforme Abbildung von triangulierten Fl\"{a}chen auf ebene Gebiete ist mit Hilfe eines Variationsprinzips auf den Skalierungsfaktoren formuliert.
Wir konzentrieren uns in dieser Abhandlung auf die experimentellen Aspekte der Theorie und st\"{u}tzen uns dabei auf die theoretischen Grundlagen aus den genannten Arbeiten.
Ganz im Geiste der diskreten Differentialgeometrie untersuchen wir Aussagen und Konstruktionen aus der Differentialgeometrie von glatten Fl\"{a}chen und versuchen diese in den diskreten Strukturen wieder zu finden.
Diese Abhandlung ist in drei Teile aufgeteilt, wovon der erste die konformen Abbildungen behandelt, der andere Anwendungen der Selbigen in der Architektur enth\"{a}lt und der dritte die Implementation der verwendeten Methoden in einer Software beschreibt.
Im ersten Teil beschreiben wir die diskrete Uniformisierung von Riemannschen Fl\"{a}chen mittels diskret konformer \"{A}quivalenz von zyklisch polyedrischen Fl\"{a}chen.
Wir verallgemeinern daf\"{u}r die bekannte Theorie der diskret konformen Dreiecksnetze auf zyklisch polyedrische Fl\"{a}chen.
Dieser Teil der Theorie wurde in vorangegangenen Arbeiten nur kurz ber\"{u}hrt.
Weiter beleuchten wir den sph\"{a}rischen Teil der Theorie, welcher bisher nicht behandelt worden ist.
Dieser Teil enth\"{a}lt einen Satz \"{u}ber hyperelliptische Riemannsche Fl\"{a}chen:
Eine Riemannsche Fl\"{a}che ist hyperelliptisch genau dann, wenn es eine Basis der Uniformisierungsgruppe gibt, deren hyperbolische Achsen sich in einem gemeinsamen Punkt schneiden, siehe auch Abbildung~\ref{fig:intro_uniformizations} rechts.
Die Methoden aus diesem Abschnitt bilden die Grundlage f\"{u}r die Anwendungen in Teil~\ref{part:applications}.
Der zweite Teil enth\"{a}lt Anwendungen von konformen Abbildungen in der Architekturgeometrie.
In Kapitel~\ref{chp:periodic_conformal_maps} werden regul\"{a}re Muster auf architektonischen Fassaden berechnet.
Daf\"{u}r verwenden wir periodische diskret konforme Abbildungen.
Wir untersuchen, wie Randbedingungen das lokale Verhalten der Abbildungen beeinflussen.
Am Ende verwenden wir diese Abbildungen, um die Geometrie von regul\"{a}ren Paneelen, zum Beispiel Sechsecken, zu bestimmen.
Wir beschreiben, wie diese Netze weiter optimiert werden um Paneele effizient produzieren zu k\"{o}nnen, siehe auch Abbildung~\ref{fig:intro_applications} links.
In Kapitel~\ref{chp:quasiisothermic} nutzen wir die Tatsache aus, dass Isothermfl\"{a}chen nach Kr\"{u}mmungslinien parametrisierbar sind.
Wir berechnen s-isotherme Netze auf architektonischen Fl\"{a}chen, das sind Netze, deren ebene Facetten "sich an den Kanten ber\"{u}hrende" Kreise besitzen.
Dieses Problem ist als Randwertproblem von diskret konformen Abbildungen formuliert.
Kapitel~\ref{chp:gridshells} gibt eine Einf\"{u}hrung in das Konzept der architektonischen Gitterschalen.
Geometrisch sind das Netze mit gleich langen Kanten.
Ausgehend von diskret konformen Abbildungen berechnen wir diese Strukturen mittels nicht-linearer Optimierung von Vierecksnetzen.
Der dritte Teil f\"{u}hrt den Leser in das Software-Framework ein, welches f\"{u}r Berechnungen an diskreten Fl\"{a}chen und speziell konformen Abbildungen entworfen wurde, siehe hierf\"{u}r Kapitel~\ref{chp:conformallab} \"{u}ber {\sc ConformalLab}.
Der Teil, der sich mit nicht-linearer Optimierung von diskreten Fl\"{a}chen besch\"{a}ftigt, ist im Kapitel~\ref{chp:varylab} \"{u}ber {\sc VaryLab} beschrieben.
Der Autor hat weiter die Bibliotheken {\sc HalfEdge} and {\sc HalfEdgeTools} entworfen, siehe Kapitel~\ref{chp:halfedge}.
Diese sind als allgemeine Werkzeuge f\"ur Berechnungen an diskreten F\"{a}chen konzipiert.
Zusammen mit der Oberfl\"{a}chenbibliothek {\sc JRWorkspace}, Kapitel~\ref{chp:jrworkspace}, bilden sie ein flexibles Framework f\"{u}r den Entwurf komplexer Forschungsanwendungen im Bereich der diskreten Differentialgeometrie.
Diese Arbeit enth\"{a}lt eine CD mit den digitalen Daten der meisten Beispiele aus Kapitel~\ref{chp:uniformization} und den architektonischen Anwendungen aus Teil~\ref{part:applications}.
Zus\"{a}tzlich ist der Quellcode der, in Teil~\ref{part:implementation} beschriebenen, Software in seiner aktuellen Fassung, sowie einer kompilierten, lauff\"{a}higen Version enthalten.
Die Struktur dieser Daten ist im Anhang beschrieben.
\subfilebibliography
\end{document}
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