Na matemática e na eletrônica digital, números binários são expressos no sistema numérico de base-2 ou também conhecido como sistema numérico binário, que utiliza apenas dois símbolos: 0 (zero) e 1 (um). O sistema numérico de base 2 é uma notação posicional que usa a raiz 2, nos referimos a cada dígito único como bit, a importância deles é de extrema grandiosidade, pois são usados na implementação de circuitos digitais eletrônicos, utilizando portões lógicos que compõe praticamente todos os computadores modernos que utilizamos.
O sistema binário moderno foi estudado na Europa no período do século 16 e 17 por nomes como Thomas Harriot, Juan Caramuel y Lobkowitz e Gottfried Leibniz, entretanto vale lembrar que o sistema é muito mais antigo e já era conhecido por diversas culturas ancestrais, incluindo principalmente Índia, Egito e China, sendo o I Ching Chinês uma grande inspiração para os estudos de Leibniz.
O grande escolar e matemático indiano Pingala (Século 2 a.C) desenvolveu um sistema binário para descrever a prosódia, um importante ramo da linguística que estuda entonação, ritmo e acento da linguagem falada, ele usou binários na forma de pequenas e longas sílabas, fazendo dele similar ao código Morse. O clássico de Pingala se chama Chandahśāstra e descreve a formação de uma matrix com o fim de dar um único valor para cada medida, em outras palavras, uma espécie de mapa binário. A representação do sistema de Pingala é diferente do modelo tradicional do oeste usado hoje, uma vez que o valor dos números de Pingala aumentam para a direita e não para a esquerda.
Os grandes escribas do antigo Egito usavam dois sistemas diferentes para suas frações: Frações Egípcias (não relacionado aos números binários) e as frações do Olho de Hórus, que são um sistema numérico binário para frações de quantidades de grãos, líquidos e outras medidas, no qual a fração de um hekat (unidade de medida usada no antigo Egito) é expressa como a soma das frações binárias 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 e 1/64. Usos desse sistema podem ser encontrados em documentos da Quinta Dinastia Egípcia (2400 a.C) e seus hieróglifos em desenvolvimento completo se extendem até a Décima Nona Dinastia (1200 a.C).
O famoso I Ching data-se do século 9 a.C na China. A notação binária do I Ching é usada para interpretar sua técnica de divinição quaternária, ele se baseia no princípio Taoísta de dualidade chamado de Yin e Yang. O escolar Shao Yong da dinastia Song reestruturou os hexagramas em um formato que relembra os números binários modernos, embora essa ideia não tenha como intenção o uso matemático.
No final do século 13 d.C Ramon Llull teve a ambição de registrar toda a sabedoria de todos os sistemas de conhecimento humano de todos os tempos. Para esse propósito ele desenvolveu um método geral (Ars Generalis) baseado em combinações binárias de um número de princípios básicos e categorias, por esse feito, foi considerado o predecessor da ciência da computação e inteligência artificial.
Já em 1605, Francis Bacon estava discutindo um sistema onde letras do alfabeto podiam ser reduzidas a sequências de dígitos binários, no qual poderiam ser codificados. Importante para a teoria geral da codificação binária, Bacon afirmou que esse método poderia ser aplicado para qualquer objeto.
Em 1679 Gottfried Leibniz dedicou sua vida ao estudo dos números binários, seu trabalho aparece no artigo "Explication de l'Arithmétique Binaire" (publicado em 1703), onde ele usa apenas os caractéres 1 e 0, relembrando a importância e o poder do seu uso e a Luz que ele usa para iluminar o conhecimento das antigas figuras Chinesas do Fu Xi. O sistema de Leibniz usa 0 e 1, como o sistema binário moderno atual, por exemplo:
0001 valor numérico 2^0
0010 valor numérico 2^1
0100 valor numérico 2^2
1000 valor numérico 2^3
Leibniz interpretou também os hexagramas do I Ching como uma evidência para o cálculo binário. Como um grande amante da cultura Chinesa, Leibniz estava ciente do I Ching, notada sua fascinação de como os hexagramas correspondem aos números binários de 000000 a 111111, concluiu que esse mapa foi uma evidência para as maiores conquistas Chinesas nos campos da matemática e filosofia que ele admirava. A introdução de Leibniz ao I Ching, inicialmente se deu com o contato que teve com o missionário jesuíta francês Joachim Bouvet, que visitou a China no período de 1685. Leibniz viu os hexagramas do I Ching como uma afirmação da Universalidade de suas próprias crenças religiosas para com o Cristianismo, números binários eram centrais para a Teologia de Leibniz, ele acreditava que números binários eram símbolos da ideia Cristã do creatio ex nihilo, que seria a criação a partir do nada, ou vazio.
"Um conceito que não é muito fácil para transmitir aos pagãos é o de creatio ex nihilo através do Supremo Poder de Deus. Agora é possível falar que nada no mundo pode apresentar e demonstrar melhor esse poder do que a origem dos números, como é apresentado aqui através da simples e sem adornos apresentação do um e zero (ou nada)".
- Carta de Leibniz ao Duquê de Brunswick, anexada com os hexagramas do I Ching.
Os posteriores desenvolvimentos se deram no período de 1854 com o matemático Britânico George Boole, que publicou um artigo sobre um sistema algébrico de lógica, que se tornou conhecido como álgebra booleana, seus cálculos lógicos foram tão importantes que se tornaram instrumentais para o design de circuitos digitais eletrônicos.
Em 1937, Claude Shannon produziu sua tese de mestrado no MIT que implementou álgebra booleana e aritmética binária usando relés eletrônicos e interruptores pela primeira vez na História, entitulado: "A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits", seu estudo essencialmente fundou a prática para o design de circuitos digitais.
Em novembro de 1937, George Stibitz, trabalhando no Bell Labs, completou um computador baseado em relés, que ele chamou de "Modelo K", que calculava usando adições binárias, a partir desse evento, o Bell Labs autorizou um programa de pesquisa completa no final de 1938, com Stibitz na liderança. Já em 1940, Seu computador de números complexos foi concluído e era capaz de calcular números complexos, em uma demonstração para a Sociedade Americana de Matemática, numa conferência feita no Colégio Dartmouth em 1940, Stibitz foi capaz de enviar comandos remotos de cálculos de números complexos através de linhas telefônicas, foi a primeira máquina computacional na história a ser usada remotamente sob uma linha telefônica, alguns dos grandes nomes que testemunharam o feito estavam: John Von Neumann, John Mauchly e Norbert Wiener.