这道题源自微软面试题，后来被阿里巴巴用上了，据说只有20%的人能给出时间复杂度为
一个有N个整数项的一维数组，这个数组有很连续多子数组，那么子数组之和的最大值是多少？
举例：
[ 1,-3, 3, 4, 5,-3]返回12；[-1,-2,-3,-4,-9,-8]返回-1；
问题其实是求从下标为i和j之间的连续数组项之和的最大值。
function fn(arr) {
let maxSum=-Infinity, len = arr.length;
for (let i = 0; i < len; i++) {
for (let j = i; j < len; j++) {
let sum=0;
for (let k = i; k <= j; k++) {
sum += arr[k];
}
if (sum > maxSum){
maxSum = sum;
}
}
}
console.log(maxSum);
}
fn([ 1, -3, 3, 4, 5, -3]);//>> 12
fn([-1, -2, -3, -4, -9, -8]);//>> -1上面代码有3个for循环，因此时间复杂度是
如果注意到
function fn(arr) {
let maxSum=-Infinity, len = arr.length;
for (let i = 0; i < len; i++) {
let sum = 0;
for (let j = i; j < len; j++) {
sum += arr[j];
if (sum > maxSum){
maxSum = sum;
}
}
}
console.log(maxSum);
}
fn([ 1, -3, 3, 4, 5, -3]);//>> 12
fn([-1, -2, -3, -4, -9, -8]);//>> -1上面代码第6行就体现了
若用动态规划法，应该先有一个“看起来更加毫无规律”的样本数据，这里选[ 1, -3, 3, 4, 5, -3]，然后做下面表格分析规律得出状态转移方程：
| 步骤 | 操作 | 累加的子数组之和 | 最大子数组和 |
|---|---|---|---|
| 1 | 加1 | 1 | 1 |
| 2 | -3 | -2 | -2 |
| 3 | 之前的和＜0，舍弃，直接从3开始，+3 | 3 | 3 |
| 4 | +4 | 7 | 7 |
| 5 | +5 | 12 | 12 |
| 6 | -3 | 9 | 12 |
用数学归纳法得出状态转移方程如下：
//todo
function fn(array) {
if (array == null && array.length <= 0) {
return 0;
}
let Maxsum = Integer.MIN_VALUE;
let currentSum = 0;
for (let i = 0; i < array.length; i++) {
currentSum += array[i];
if (currentSum < array[i]) {
currentSum = array[i];
}
if (currentSum > Maxsum) {
Maxsum = currentSum;
}
}
return Maxsum;
}时间复杂度为
题目为：
从面值为 1,2,5,10 的硬币中找零 36 块钱，最少要 几 枚硬币？
这是典型的动态规划问题。所谓动态规划，也即问题分成多个步骤，每一步的选择是可以动态调整的，所有步骤完成之后，最后求最优解。比如求两点之间的最优路径，多种组合方案的最优方案。这类问题，可以分解成对每一步求最优解，然后将每步的最优解组合，即为最终最优解。
本题求最少硬币数，也可以用动态规划法求解。首先要归纳出一个状态转移方程。给定的金额i，最少硬币数为f(i)，硬币面值为j，它们之间的关系可以用方程表达如下（该方程即为状态转移方程）：
有了上面这个状态转移方程，可以看出是一个递归求解过程，所以，此类问题就很好解了，代码如下：
/**
* 硬币找零 之 动态规划法。
* 状态转移方程 DP(i)=DP(i-j)+1，其中i是金额，j是硬币面值。
* @param {array} coins 硬币面额的数组
* @param {number} amount 给定的金额数
*/
(function (coins, amount) {
//优化，缓存递归过程中已经计算过的金额数
let cache = new Map();
//如果金额和面值恰好相等，1枚硬币就能完成
coins.forEach(coin => {
cache.set(coin, 1);
});
console.time("coffe1891");
let DP = function (amount) {
if (amount <= 0)
return 0;
else if (cache.has(amount))
return cache.get(amount);
else {
//缓存方案
let tmpArr = [];
for (let i = 0; i < coins.length; i++) {
let coin = coins[i];
if (amount - coin > 0) {//非法钱数不计算
//递归
let v = DP(amount - coin) + 1;
tmpArr.push(v);
}
}
//从方案中选最优的
tmpArr.sort((a, b) => a - b);
cache.set(amount, tmpArr[0]);
return tmpArr[0];
}
}
console.log("从面值为 " + coins + " 的硬币中找零 " + amount + " 块钱，最少要 " + DP(amount) + " 枚硬币");
console.timeEnd('coffe1891');
})([1, 2, 5, 10], 36);因此我们发现一个规律：可用动态规划法解题的关键，在于找到状态转移方程，通过观察该方程，可以更快知道解题的具体算法思路。
每次我们都优先取最大的硬币面额，直到剩余金额不足最大面额时，我们会取第二大的面额，以此类推，从而实现总硬币数最小的目的。其思想非常简单，我们直接上代码：
/**
* 硬币找零 之 贪心算法
*/
(function (coins, amount) {
let s = new Date().getTime();
let greedy = function (amount) {
let total = 0;//已找金额
let change = [];//放硬币的罐子
for (let i = coins.length-1; i >= 0; i--) {
let coin = coins[i];
while (total + coin <= amount) {
change.push(coin);
total += coin;
}
}
return change.length;
}
console.log("从面值为 " + coins + " 的硬币中找零 " + amount + " 块钱，最少要 " + greedy(amount) + " 枚硬币");
let e = new Date().getTime();
console.log("耗时 " + (e - s) + " ms");
})([1, 2, 5, 10], 36);