【Hackathon 5th No.25】为 Paddle 新增 gammaln API (#658)

* add 20230925_api_design_for_gammaln.md

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rfcs/APIs/20230925_api_design_for_gammaln.md

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+# paddle.gammaln 设计文档
+
+|API名称 | paddle.gammaln |
+|---|---|
+|提交作者<input type="checkbox" class="rowselector hidden"> | 汪昕([GreatV](https://github.com/GreatV)) |
+|提交时间<input type="checkbox" class="rowselector hidden"> | 2023-09-25 |
+|版本号 | V1.0 |
+|依赖飞桨版本<input type="checkbox" class="rowselector hidden"> | develop |
+|文件名 | 20230925_api_design_for_gammaln.md |
+
+## 一、概述
+
+### 1、相关背景
+
+`gammaln` 函数返回 gamma 函数绝对值的自然对数，定义为：
+
+$$\text{ln}(|\Gamma(x)|)$$
+
+其中 $\Gamma$ 为伽马函数。
+
+### 2、功能目标
+
+为 Paddle 新增 `paddle.gammaln` API，提供 gamma 函数绝对值的自然对数计算功能。
+
+### 3、意义
+
+为 Paddle 新增 `paddle.gammaln` API，提供 gamma 函数绝对值的自然对数计算功能。
+
+## 二、飞桨现状
+
+对飞桨框架目前不支持此功能，且飞桨框架暂无 `paddle.gamma` 函数。但可用其他API组合实现的此功能，代码如下；
+
+```Python
+import paddle
+import numpy as np
+
+
+def gammaln(x):
+    return paddle.log(paddle.abs(paddle.exp(paddle.lgamma(x))))
+
+np_x = np.array([1/5, 1/2, 2/3, 8/7, 3])
+x = paddle.to_tensor(np_x, dtype="float64")
+
+out = gammaln(x)
+print(out)
+# Tensor(shape=[5], dtype=float64, place=Place(cpu), stop_gradient=True,
+#        [ 1.52406382,  0.57236494,  0.30315028, -0.06674088,  0.69314718])
+```
+
+需要注意的是，此实现在输入x为大值时，会出现数值溢出的情况，如下所示：
+
+```Python
+np_x = np.array([1e10, 1e20, 1e40, 1e80])
+x = paddle.to_tensor(np_x, dtype="float64")
+out = gammaln(x)
+print(out)
+# Tensor(shape=[4], dtype=float64, place=Place(cpu), stop_gradient=True,
+#        [inf., inf., inf., inf.])
+```
+
+这与我们期望的输出有差异
+
+```Python
+# Tensor(shape=[4], dtype=float64, place=Place(cpu), stop_gradient=True,
+#        [220258509288.81057739                                                               ,
+#         4505170185988091674624.                                                             ,
+#         911034037197618268983181525026762056007680.                                         ,
+#         18320680743952364242533014047349914338837359189968031568576067731446620442113081344.])
+```
+
+## 三、业内方案调研
+
+### 1. Scipy
+
+在 Scipy 中使用的 API 格式如下：
+
+`scipy.special.gammaln(x, out=None) = <ufunc 'gammaln'>`
+
+其中，`x` 为 `ndarray` 类型, 为实数参数。`out` 为 `ndarray` 类型，是 gamma 函数绝对值的自然对数的输出。Scipy 中的实现与 Python 标准库中的 `math.lgamma` 一致。
+
+scipy 中通过 cephes 库实现，代码如下：
+
+```C
+/* Logarithm of Gamma function */
+double lgam(double x)
+{
+    int sign;
+    return lgam_sgn(x, &sign);
+}
+
+double lgam_sgn(double x, int *sign)
+{
+    double p, q, u, w, z;
+    int i;
+
+    *sign = 1;
+
+    if (!cephes_isfinite(x))
+ return x;
+
+    if (x < -34.0) {
+ q = -x;
+ w = lgam_sgn(q, sign);
+ p = floor(q);
+ if (p == q) {
+   lgsing:
+     sf_error("lgam", SF_ERROR_SINGULAR, NULL);
+     return (INFINITY);
+ }
+ i = p;
+ if ((i & 1) == 0)
+     *sign = -1;
+ else
+     *sign = 1;
+ z = q - p;
+ if (z > 0.5) {
+     p += 1.0;
+     z = p - q;
+ }
+ z = q * sin(M_PI * z);
+ if (z == 0.0)
+     goto lgsing;
+ /*     z = log(M_PI) - log( z ) - w; */
+ z = LOGPI - log(z) - w;
+ return (z);
+    }
+
+    if (x < 13.0) {
+ z = 1.0;
+ p = 0.0;
+ u = x;
+ while (u >= 3.0) {
+     p -= 1.0;
+     u = x + p;
+     z *= u;
+ }
+ while (u < 2.0) {
+     if (u == 0.0)
+  goto lgsing;
+     z /= u;
+     p += 1.0;
+     u = x + p;
+ }
+ if (z < 0.0) {
+     *sign = -1;
+     z = -z;
+ }
+ else
+     *sign = 1;
+ if (u == 2.0)
+     return (log(z));
+ p -= 2.0;
+ x = x + p;
+ p = x * polevl(x, B, 5) / p1evl(x, C, 6);
+ return (log(z) + p);
+    }
+
+    if (x > MAXLGM) {
+ return (*sign * INFINITY);
+    }
+
+    q = (x - 0.5) * log(x) - x + LS2PI;
+    if (x > 1.0e8)
+ return (q);
+
+    p = 1.0 / (x * x);
+    if (x >= 1000.0)
+ q += ((7.9365079365079365079365e-4 * p
+        - 2.7777777777777777777778e-3) * p
+       + 0.0833333333333333333333) / x;
+    else
+ q += polevl(p, A, 4) / x;
+    return (q);
+}
+```
+
+### 2. Pytorch
+
+在 Pytorch 中使用的 API 格式如下：
+
+`torch.special.gammaln(input, *, out=None) → Tensor`
+
+其中，`input` 为 输入`Tensor`，`out` 为 输出 `Tensor`。
+
+Pytorch中直接使用的是C++标准库中的 `std::lgamma`，代码如下：
+
+```C++
+  Vectorized<T> lgamma() const {
+    return map(std::lgamma);
+  }
+```
+
+## 四、对比分析
+
+Scipy 基于 cephes 库实现，Pytorch 基于 C++ 标准库实现。Scipy 中的实现与 Python 标准库中的 `math.lgamma` 一致。Pytorch 中直接使用的是C++标准库中的 `std::lgamma`。而飞桨中暂无 `paddle.gamma` 函数，不好通过Python端实现，因此，需要通过C++端实现。
+
+## 五、设计思路与实现方案
+
+### 命名与参数设计
+
+<!-- 参考：[飞桨API 设计及命名规范](https://www.paddlepaddle.org.cn/documentation/docs/zh/develop/dev_guides/api_contributing_guides/api_design_guidelines_standard_cn.html) -->
+
+API设计为 `paddle.gammaln(x)`。其中，`x` 为 `Tensor` 类型。`Tensor.gammaln()` 为 Tensor 的方法版本。
+
+### API实现方案
+
+参考 PyTorch 采用C++ 实现，实现位置为 Paddle repo `python/paddle/tensor/math.py` 目录。并在 python/paddle/tensor/init.py 中，添加 `gammaln` API，以支持 `Tensor.gammaln` 的调用方式。头文件放在 `paddle/phi/kernels` 目录，cc 文件在 `paddle/phi/kernels/cpu` 目录， cu文件 `paddle/phi/kernels/gpu` 目录。
+
+## 六、测试和验收的考量
+
+<!-- 参考：[新增API 测试及验收规范](https://www.paddlepaddle.org.cn/documentation/docs/zh/develop/dev_guides/api_contributing_guides/api_accpetance_criteria_cn.html) -->
+
+可考虑一下场景：
+
+- 输出数值结果的一致性和数据类型是否正确，使用 scipy 作为参考标准；
+- 对不同 dtype 的输入数据 `x` 进行计算精度检验 (float32, float64)；
+- 大值输入时，是否出现数值溢出；
+- 输入输出的容错性与错误提示信息；
+- 输出 Dtype 错误或不兼容时抛出异常；
+- 保证调用属性时是可以被正常找到的；
+- 覆盖静态图和动态图测试场景。
+
+## 七、可行性分析和排期规划
+
+本 API 主要参考 PyTorch 实现，难度适中，工期上能满足要求。
+
+## 八、影响面
+
+为独立新增API，对其他模块没有影响。
+
+## 名词解释
+
+## 附件及参考资料
+
+1. 伽马函数的详细介绍参见 [Gamma Function](https://dlmf.nist.gov/5)