- Introdução
- O problema
- Porque é melhor trocar de porta
- Como o programa funciona
- Como recriar o experimento
- Referências
O problema de Monty Hall envolve três portas, sendo que uma delas esconde um prêmio e as outras duas contém um bode. Uma pessoa (ou algum jogador) seleciona uma porta (que ainda não está aberta), e, logo após, outra porta (que não foi a escolhida) é aberta pelo apresentador e mostra que atrás desta havia um bode. Agora, restam duas portas fechadas (uma com o prêmio e outra com outro bode), sendo uma dessas a que o jogador escolheu. Então, depois dessa etapa, o jogador pode decidir se mantém a sua escolha inicial ou se troca de porta. A questão é: a melhor opção é ficar com a porta que escolheu no começo ou mudar para a outra porta que restou?
Ao analisarmos os eventos possíveis, percebemos o seguinte: como a probabilidade de um evento ocorrer é dada pela razão dos casos favoráveis pelo total de casos, como o jogador que ganhar o prêmio e ele está em uma das três, temos 1 caso favorável (escolher a porta com o prêmio) e três casos totais (as três portas), logo, podemos concluir que temos 1/3 de chance de ganhar ao escolher uma porta aleatória.
Nesse sentido, o grande ponto do problema de Monty Hall é este: o apresentador deverá abrir uma das portas e revelar que nessa porta há um bode.
Por conseguinte, agora sabemos que uma das portas não tem nenhuma chance de ter o prêmio. Ou seja, é intuitivo pensar que agora cada uma das duas portas restantes possuem 50% de chance de ter o prêmio. No entanto, no próximo tópicos será provado o porquê disso não ser verdade.
Como visto anteriormente, cada porta tem 1/3 de chance de ter o prêmio. No entanto, como apenas uma tem o prêmio, temos 1/3 de chance de acertar (uma porta certa) e 1/3 + 1/3 de chance de errar (duas portas com bodes), ou seja, 2/3 de chance de escolher uma porta com um bode. Logo, a explicação mais rapida é que, como temos mais chance de escolher uma porta errada (2/3 é o dobro de 1/3), é mais provável ganhar se trocar de porta.
Observe, na imagem abaixo, a representação em um digrama de árvore das possibilidades.
Primeiramente, temos uma função que gera um identificador para as portas (escolhida, revelada e premiada). Essa função é implementada da seguinte maneira:
def gen_random_door(self) -> int:
return random.randint(1, 3)Em seguida, outra função, utilizando a função anterior, define valores para a porta escolhida pelo jogador e para a porta premiada:
def monty_hall(self, trocar_porta: bool) -> bool:
porta_premiada: int = self.gen_random_door()
primeira_porta_escolhida: int = self.gen_random_door()
...Após definir os valores da porta que deve ser escolhida pelo jogador e da porta que contém o prêmio, é definida a porta que é revelada pelo apresentador - note que essa não pode ser igual à porta que contém o prêmio ou a que foi escolhida pelo jogador:
...
porta_revelada: int = random.choice(
list({1, 2, 3} - {porta_premiada, primeira_porta_escolhida})
)
...A função, então, checa se o jogador deve ou não trocar de porta. Se o usuário trocar, outra variável é criada ("segunda_porta_escolhida"), a qual não pode ser igual à primeira porta escolhia ou à porta revelada; depois verifica-se se o jogador escolheu a porta com premiada ou não. Se o jogador não trocar, verifica-se apenas se a porta escolhida foi a premiada (retorna True) ou não (retorna False):
def monty_hall(self, trocar_porta: bool) -> bool:
...
if trocar_porta:
return ({1, 2, 3} - {porta_revelada, primeira_porta_escolhida}).pop() == porta_premiada
else:
return primeira_porta_escolhida == porta_premiada
...Nesse momento é definida uma amostra pro experimento (quantidade de jogos/partidas):
amostra = 1_000Warning
Note que quanto maior a amostra mais tempo levará para rodar todos os casos.
Para salvar os dados, o programa cria uma tabela chamada "Ganhou" com três colunas: id (int), won_changing (int [0 ou 1]) won_not_changing(int [0 ou 1]). Exemplo em sql:
CREATE TABLE IF NOT EXISTS Game(
id INTEGER PRIMARY KEY AUTOINCREMENT,
won_changing INTEGER,
won_not_changing INTEGER); Implementacão em python:
...
class Database:
def __init__(self, db_name: str) -> None:
self.database_connection: sqlite3.Connection = sqlite3.connect(db_name)
self.cursor: sqlite3.Cursor = self.database_connection.cursor()
self.cursor.execute(
"""CREATE TABLE IF NOT EXISTS Game(
id INTEGER PRIMARY KEY AUTOINCREMENT,
won_changing INTEGER,
won_not_changing INTEGER
)"""
)
def insert_data(self, game: Game) -> None:
self.cursor.execute(
"INSERT INTO Game(won_changing, won_not_changing) VALUES (?, ?)",
(game.won_changing, game.won_not_changing),
)
self.database_connection.commit()
def get_all_games(self) -> list[tuple[int, int, int]]:
result = self.cursor.execute("SELECT * FROM Game")
return result.fetchall()
def get_wins_changing(self) -> tuple[int, None]:
result = self.cursor.execute("SELECT count(won_changing) FROM Game WHERE won_changing == 1")
return result.fetchone()
def get_wins_not_changing(self) -> tuple[int, None]:
result = self.cursor.execute("SELECT count(won_not_changing) FROM Game WHERE won_not_changing == 1")
return result.fetchone()
def close_connection(self) -> None:
self.database_connection.close()
...Por fim, o programa itera na quantidade de amostras, escrevendo cada uma das partidas no banco dedados e, no final, salvando as alterações:
from data_analysis import plot
from database import Database, Game
from montyhallgame import MontyHallGame
from settings import amostra, db_name
...
db = Database(db_name)
mh = MontyHallGame()
for i in range(amostra):
print(f"Iteration: {i}", end="\r")
db.insert_data(Game(mh.monty_hall(True), mh.monty_hall(False)))
...
data = db.get_all_games()
db.close_connection()
plot(data, "barchart.png")WIP
- Paradoxo de Monty Hall. Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Acesso em 23 de jun. de 2023. Disponível em: https://www.ufrgs.br/wiki-r/index.php?title=Paradoxo_de_Monty_Hall
- Monty Hall Problem. Brilliant.org. Acesso em 25 de jun. de 2023. Disponível em: https://brilliant.org/wiki/monty-hall-problem/
- Edward R. Scheinerman (2003). Matemática Discreta - Uma Introdução 1 ed. Brasil: Cengage Learning. 532 páginas. ISBN 85-221-0291-0
- Boechat, Gabriel. Simulação do problema de Monty Hall em R. Open Code Community. Acesso em 27 de jun. de 2023. Disponível em: https://opencodecom.net/post/2021-04-25-simulacao-do-problema-de-monty-hall-em-r
- Probabilidades – O problema de Monty Hall. Acesso em 4 de set. de 2024. Disponível em: http://clubes.obmep.org.br/blog/probabilidades-o-problema-de-monty-hal/