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02-Finite-Impulse-Response-Filters.md

@@ -424,7 +424,7 @@ width是1到1024^1^  之间的整数。例如，ap_int<8>是一个8位有符号
 
 $$ (I_{in}+ j Q_{in})(I_{fir} + j Q_{fir}) = (I_{in} I_{fir}  Q_{in} Q_{fir}) +  j (Q_{in}  I_{fir} + I_{in}Q_{fir}) \quad(2.4)$$                            
 
-​方程2.4显示了复数FIR滤波器的一个系数与输入复数数据的乘法。方程右侧显示复数FIR滤波器输出实数部分是$ I_{in}I_{fir} - Q_{in}Q_{fir} $，和虚数部分为$ Q_{in}I_{fir} + I_{in}Q_{fir} $。这意味着我们可以将复数FIR过滤器运算拆分为四个实数滤波器，如图2.9所示。
+​方程2.4显示了复数FIR滤波器的一个系数与输入复数数据的乘法。方程右侧显示复数FIR滤波器输出实数部分是$$ I_{in}I_{fir} - Q_{in}Q_{fir} $$，和虚数部分为$$ Q_{in}I_{fir} + I_{in}Q_{fir} $$。这意味着我们可以将复数FIR过滤器运算拆分为四个实数滤波器，如图2.9所示。
 
 ![complex_fir](/images/complex_fir.jpg)
 

03-CORDIC.md

@@ -1,4 +1,4 @@
-\theta# 第三章 CORDIC
+# 第三章 CORDIC
 
 ## 3.1 概述
 
@@ -42,7 +42,7 @@ $$
 ​	用矩阵向量的形式 表示
 
 $$
-\begin{bmatrix}1 & -1 \\ 1 & 1 \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \\\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}x - y \\x + y \\\end{bmatrix} \quad(3.16)
+\begin{bmatrix}1 & -1 \\ 1 & 1 \\\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\ y \\\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}x - y \\x + y \end{bmatrix} \quad(3.16)
 $$
 
 ​	这个很容易计算，而且不需要任何“困难”的乘法。但这次运算结果是什么呢?结果证明这次运算实现了完美的45度旋转；现在，我们得到了一个高效方式来实现一次45度旋转。但是，这个变换也把矢量以$$\sqrt{2}$$进行了量化。这个矩阵行列式的平方根表明变换量化矢量的大小，即，矢量长度是如何变化的。这里矩阵行列式为1 * 1−(−1) * 1 = 2。因此,这个操作实现角度旋转45度和尺度变化$$\sqrt{2}$$倍。这是CORDIC运算进行的折中;我们可以使旋转运算变得容易，但它的副作用是缩放矢量的长度。根据应用场景不同，这不一定是个问题。但是现在，我们暂时不考虑缩放问题，集中讨论如何推广高效旋转操作。

05-Fast-Fourier-Transform.md

@@ -17,97 +17,110 @@
 FFT算法利用DFT计算中的对称性来降低算法的复杂度。为了更好地理解这个问题，让我们首先关注一下DFT算法中的研究点，以2点DFT为例。DFT背景介绍执行一个矩阵向量乘法计算$$G[] = S[][] \cdot g[]$$,其中$$g[]$$是输入向量，$$G[]$$是频域的输出数据，$$S[][]$$DFT参数。我们遵循第4.2章中所述相同的系数矩阵记法以及的输入和输出向量。
 
 对于一个两个样本点的DFT，矩阵S的值为：
+
 $$
 S =
  \begin{bmatrix}
   W^{0 0}_2 & W^{0 1}_2  \\
-  W^{1 0}_2 & W^{1 1}_2 \\
+  W^{1 0}_2 & W^{1 1}_2
  \end{bmatrix}\quad(5.1)
 $$
 
 这里我们使用$$W = e^{-j 2 \pi}$$的概念，其中W的上标表示添加到分子中的值，W的下标表示在复指数的分母值。举个例子，$$W^{2 3}_4 = e^{\frac{-j 2 \pi \cdot 2 \cdot 3}{4}}$$。这和4.2节中讨论的DFT中s的值一样，其中$$s = e^{\frac{-j 2 \pi}{N}}$$,s和W之间的关系为$$s = W_N$$。
 
-{% hint style='tip' %}
- $$e^{-j 2 \pi}$$ 或者$$W$$经常被称作*旋转因子*，这个术语起源于1966年Gentleman和Sande的论文[27]。
-{% endhint %}
+
+ $$e^{-j 2 \pi}$$ 或者 $$W $$经常被称作*旋转因子*，这个术语起源于1966年Gentleman和Sande的论文[27]。
+
+
 $$
 \begin{bmatrix}
 G[0] \\
-G[1] \\
+G[1]
 \end{bmatrix} =
  \begin{bmatrix}
   W^{0 0}_2 & W^{0 1}_2  \\
-  W^{1 0}_2 & W^{1 1}_2 \\
+  W^{1 0}_2 & W^{1 1}_2
  \end{bmatrix}
  \cdot
   \begin{bmatrix}
   g[0] \\
-  g[1]\\
+  g[1]
 \end{bmatrix}\quad(5.2)
 $$
+
 把这两个等式拓展到2点DFT则有：
+
 $$
 \begin{array} {lll}
 G[0] & = & g[0] \cdot e^{\frac{-j 2 \pi \cdot 0 \cdot 0}{2}} + g[1] \cdot e^{\frac{-j 2 \pi \cdot 0 \cdot 1}{2}} \\
- & = & g[0] + g[1] \\
+ & = & g[0] + g[1]
 \end{array}\quad(5.3)
 $$
+
 由于$$e^{0} = 1$$，所以其中的第二个频率项为:
+
 $$
 \begin{array} {lll}
 G[1] & = & g[0] \cdot e^{\frac{-j 2 \pi \cdot 1 \cdot 0}{2}} + g[1] \cdot e^{\frac{-j 2 \pi \cdot 1 \cdot 1}{2}} \\
  & = & g[0] - g[1] \\
 \end{array}\quad(5.4)
 $$
+
 其中$$e^{\frac{-j 2 \pi \cdot 1 \cdot 1}{2}}  = e^{-j \pi } = -1$$。
 
 图5.1为这个计算提供了两种不同的表示方法。a）部分是2点DFT的数据流图。这是我们熟悉的本书的一种习惯的表达方法。b）部分展示了用于相同计算的蝶形结构。这是数字信号处理中使用的典型结构，特别是用于表示FFT中的计算。
 
 蝴蝶结构是一种更紧凑的表示形式，可用于表示大型数据流图。当两条线合在一起时，这表示一个加法操作。箭头线上的任何标签都表示该标签乘以该线上的值。该图中有两个标签:底部水平线上的'-'标志表示该值应该被否定。此后加上由相交的两条线表示的加法与减法相同。第二个标签是 $$W^0_2$$。虽然这是乘法是不必要的（因为 $$W^0_2$$ = 1，这意味着它乘以值'1'），但是把它表示出来是因为它在多样本点的FFT计算中很常见。
 
 现在让我们考虑一个稍微大一点的DFT——4点DFT，有4个输入、4个输出以及一$$4 * 4$$的S矩阵如式5.5所示：
+
 $$
 S=
 \begin{bmatrix}
  W^{0 0}_4 & W^{0 1}_4 & W^{0 2}_4 & W^{0 3}_4 \\
  W^{1 0}_4 & W^{1 1}_4 & W^{1 2}_4 & W^{1 3}_4 \\
  W^{2 0}_4 & W^{2 1}_4 & W^{2 2}_4 & W^{2 3}_4 \\
- W^{3 0}_4 & W^{3 1}_4 & W^{3 2}_4 & W^{3 3}_4 \\
+ W^{3 0}_4 & W^{3 1}_4 & W^{3 2}_4 & W^{3 3}_4
 \end{bmatrix}\quad(5.5)
 $$
 
 ![图5.1 a）部分是2点DFT/FFT的数据流图。 b）部分显示了该运算的蝴蝶结构。它是数字信号处理领域中计算FFT的常见表示方法。](images/2pointFFT.jpg)
 
 用于计算频率输出项的DFT方程为：
+
 $$
 \begin{bmatrix}
 G[0] \\
 G[1] \\
 G[2] \\
-G[3] \\
+G[3]
 \end{bmatrix} =
  \begin{bmatrix}
   W^{0 0}_4 & W^{0 1}_4 & W^{0 2}_4 & W^{0 3}_4 \\
   W^{1 0}_4 & W^{1 1}_4 & W^{1 2}_4 & W^{1 3}_4 \\
   W^{2 0}_4 & W^{2 1}_4 & W^{2 2}_4 & W^{2 3}_4 \\
-  W^{3 0}_4 & W^{3 1}_4 & W^{3 2}_4 & W^{3 3}_4 \\
+  W^{3 0}_4 & W^{3 1}_4 & W^{3 2}_4 & W^{3 3}_4
  \end{bmatrix}
  \cdot
   \begin{bmatrix}
   g[0] \\
   g[1]\\
   g[2]\\
-  g[3]\\
+  g[3]
 \end{bmatrix}\quad(5.6)
 $$
+
 现在我们逐个写出G[]中每个频域值的方程。G[0]的方程为:
+
 $$
 \begin{array} {lll}
 G[0] & = & g[0] \cdot e^{\frac{-j 2 \pi \cdot 0 \cdot 0}{4}} + g[1] \cdot e^{\frac{-j 2 \pi \cdot 0 \cdot 1}{4}} + g[2] \cdot e^{\frac{-j 2 \pi \cdot 0 \cdot 2}{4}} + g[3] \cdot e^{\frac{-j 2 \pi \cdot 0 \cdot 3}{4}}\\
  & = & g[0] + g[1] + g[2] + g[3] \\
 \end{array}\quad(5.7)
 $$
+
 G[1]的方程为:
+
 $$
 \begin{array} {lll}
 G[1] & = & g[0] \cdot e^{\frac{-j 2 \pi \cdot 1 \cdot 0}{4}} + g[1] \cdot e^{\frac{-j 2 \pi \cdot 1 \cdot 1}{4}} + g[2] \cdot e^{\frac{-j 2 \pi \cdot 1 \cdot 2}{4}} + g[3] \cdot e^{\frac{-j 2 \pi \cdot 1 \cdot 3}{4}}\\
@@ -116,50 +129,58 @@ G[1] & = & g[0] \cdot e^{\frac{-j 2 \pi \cdot 1 \cdot 0}{4}} + g[1] \cdot e^{\fr
  & = & g[0] + g[1] \cdot e^{\frac{-j 2 \pi}{4}} - g[2] - g[3] \cdot e^{\frac{-j 2 \pi}{4}}\\
 \end{array}\quad(5.8)
 $$
+
 其中方程简化的依据是$$e^{-j \pi} = -1$$.
 
 G[2]的方程为:
+
 $$
 \begin{array} {lll}
 G[2] & = & g[0] \cdot e^{\frac{-j 2 \pi \cdot 2 \cdot 0}{4}} + g[1] \cdot e^{\frac{-j 2 \pi \cdot 2 \cdot 1}{4}} + g[2] \cdot e^{\frac{-j 2 \pi \cdot 2 \cdot 2}{4}} + g[3] \cdot e^{\frac{-j 2 \pi \cdot 2 \cdot 3}{4}}\\
  & = & g[0] + g[1] \cdot e^{\frac{-j 4 \pi}{4}} + g[2] \cdot e^{\frac{-j 8 \pi}{4}} + g[3] \cdot e^{\frac{-j 12 \pi}{4}}\\
- & = & g[0] - g[1]  + g[2] -  g[3] \\
+ & = & g[0] - g[1]  + g[2] -  g[3]
 \end{array}\quad(5.9)
 $$
+
 其中方程的运算是通过基于旋转的简化来完成的，例如，$$e^{\frac{-j 8 \pi}{4}} = 1$$ 以及$$e^{\frac{-12 j \pi}{4}} = -1$$ 。这两个例子都运用到了$$e^{-j 2\pi}$$等于1。换句话说，任何具有2π旋转的复指数都是相等的。
 
 最终G[3]的方程为:
+
 $$
 \begin{array} {lll}
 G[3] & = & g[0] \cdot e^{\frac{-j 2 \pi \cdot 3 \cdot 0}{4}} + g[1] \cdot e^{\frac{-j 2 \pi \cdot 3 \cdot 1}{4}} + g[2] \cdot e^{\frac{-j 2 \pi \cdot 3 \cdot 2}{4}} + g[3] \cdot e^{\frac{-j 2 \pi \cdot 3 \cdot 3}{4}}\\
  & = & g[0] + g[1] \cdot e^{\frac{-j  6 \pi}{4}} + g[2] \cdot e^{\frac{-j  12 \pi}{4}} + g[3] \cdot e^{\frac{-j 18 \pi}{4}}\\
  & = & g[0] + g[1] \cdot e^{\frac{-j 6  \pi }{4}}  - g[2] +  g[3] \cdot e^{\frac{-j 10  \pi}{4}}\\
-  & = & g[0] + g[1] \cdot e^{\frac{-j 6  \pi }{4}}  - g[2] -  g[3] \cdot e^{\frac{-j 6  \pi}{4}}\\
+  & = & g[0] + g[1] \cdot e^{\frac{-j 6  \pi }{4}}  - g[2] -  g[3] \cdot e^{\frac{-j 6  \pi}{4}}
 \end{array}\quad(5.10)
 $$
 
 我们尚未发现我们的简化和上一个周期有何联系，它由 $$e^{\frac{-j 18 \pi}{4}}$$开始，因为他们相差了$$2\pi$$个旋转周期所以可以简化或者说是等于$$e^{\frac{-j 10 \pi}{4}}$$。旋转$$2\pi$$等于1即$$e^{\frac{-j 8 \pi}{4}}=1$$。最后，再旋转$$\pi$$ 个角度就相当于-1，就变成了$$e^{\frac{-j 6 \pi}{4}}$$。从另一个角度来看这个$$e^{\frac{-j 6 \pi}{4}}.e^{\frac{-j 18 \pi}{4}}$$，其中 $$e^{\frac{-j 4 \pi}{4}}=1$$。我们没有将式5.10彻底简化是为了在以下等式中证明对称性。通过重新排序，我们可以将这四个方程视为：
+
 $$
 \begin{array} {lll}
 G[0] & = & (g[0] + g[2]) + e^{\frac{-j 2 \pi 0}{4}} (g[1] + g[3])\\
 G[1] & = & (g[0] - g[2]) + e^{\frac{-j 2 \pi 1}{4}} (g[1] - g[3])\\
 G[2] & = & (g[0] + g[2]) + e^{\frac{-j 2 \pi 2}{4}} (g[1] + g[3])\\
-G[3] & = & (g[0] - g[2]) + e^{\frac{-j 2 \pi 3}{4}} (g[1] - g[3])\\
+G[3] & = & (g[0] - g[2]) + e^{\frac{-j 2 \pi 3}{4}} (g[1] - g[3])
 \end{array}\quad(5.11)
 $$
+
 从式5.11可以看出，几种不同的对称性开始出现。首先，我们可以将输入数据划分为偶数和奇数元素，即，对元素g[0]和g[2]进行类似的操作，对于奇数元素g[1]和g[3]也是如此。此外，我们可以看到在这些偶数和奇数元素上存在加法和减法对称性。在计算输出频率G[0]和G[2]期间，将偶数和奇数元素相加在一起。在计算频率G[1]和G[3]时，将偶数和奇数元素减。最后，每个频率项中的奇数元素乘以常数复指数 $$W^i_4$$，其中i表示频率输出，即G[i]。
 
 我们来看一下括号里面的项，可以发现有2点FFT。比如，我们先考虑一下括号里面的偶数输入项g[0]和g[2]。如果我们对这些偶数项用2点FFT展开，那么低频分量（直流分量）就是g[0]＋g[2]（参见式5.3），高频分量计算结果为g[0]－g[2]（参见式5.4）。2点FFT同样适用于奇数项输入g[1]和g[3]。
 
 我们在这些等式上做更多的变换。
+
 $$
 \begin{array} {lll}
 G[0] & = & (g[0] + g[2]) + e^{\frac{-j 2 \pi 0}{4}} (g[1] + g[3])\\
 G[1] & = & (g[0] - g[2]) + e^{\frac{-j 2 \pi 1}{4}} (g[1] - g[3])\\
 G[2] & = & (g[0] + g[2]) - e^{\frac{-j 2 \pi 0}{4}} (g[1] + g[3])\\
-G[3] & = & (g[0] - g[2]) - e^{\frac{-j 2 \pi 1}{4}} (g[1] - g[3])\\
+G[3] & = & (g[0] - g[2]) - e^{\frac{-j 2 \pi 1}{4}} (g[1] - g[3])
 \end{array}\quad(5.12)
 $$
+
 最后两个等式里的旋转变化是由$$e^{\frac{-j 2 \pi 2}{4}} = -e^{\frac{-j 2 \pi 0}{4}}$$ 和 $$e^{\frac{-j 2 \pi 3}{4}} = -e^{\frac{-j 2 \pi 1}{4}}$$两个等式得来的。我们可以跨两个等式，共享乘法项系数，进一步降低了矩阵乘法的复杂度。
 
 图5.2显示了四点FFT的蝶形图。 我们可以看到第一阶段是对偶数（顶部蝶形）和奇数（底部蝶形）输入值执行的两个2点FFT运算。通过使用公式5.12中所示的简化方式，将奇数的2点FFT输出乘以适当的旋转因子，可以用于所有四个输出项。
@@ -178,25 +199,32 @@ $$
 G[k] = \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{N-1} g[n] \cdot e^{\frac{-j 2 \pi k n}{N}} \text{ for } k = 0, \ldots, N-1
 \quad(5.13)
 $$
+
 我们可以把这个公式分为两部分，一部分是偶数部分，一部分是奇数部分。
+
 $$
 G[k] =\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{N/2-1} g[2n] \cdot e^{\frac{-j 2 \pi k (2n)}{N}} + \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{N/2-1} g[2n+1] \cdot e^{\frac{-j 2 \pi k (2n+1)}{N}}
 \quad(5.14)
 $$
+
 该等式的第一部分处理偶数输入，是g[]和e的指数中的2n项。第二部分对应于两个部分的2n+1的奇数输入。还要注意的是在两种情况下，由于我们将它分为两个部分所以每个公式的求和总和现在变为N/2-1。
 
 我们将公式5.14转换为如下：
+
 $$
 G[k] = \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{N/2-1} g[2n] \cdot e^{\frac{-j 2 \pi k n}{N/2}} + \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{N/2-1} g[2n+1] \cdot e^{\frac{-j 2 \pi k (2n)}{N}} \cdot e^{\frac{-j 2 \pi k}{N}}
 \quad(5.15)
 $$
+
 在第一个求和（偶数输入）中，我们只需将2移动到分母中，使其现变为N/2。第二个求和（奇数输入）使用幂规则来分离+1，留下两个复数指数。我们可以进一步表达这个等式为：
+
 $$
 G[k] = \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{N/2-1} g[2n] \cdot e^{\frac{-j 2 \pi k n}{N/2}} + e^{\frac{-j 2 \pi k}{N}} \cdot \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{N/2-1} g[2n+1] \cdot e^{\frac{-j 2 \pi k n}{N/2}}
 \quad(5.16)
 $$
 
 这里我们只修改第二个求和。首先，我们在求和之外拉出一个不依赖于n的复数指数。我们也将第二个移动到分母中，就像我们在第一次求和中所做的那样。请注意，这两个求和现在具有相同的复指数$$e^{\frac{-j 2 \pi k n}{N/2}}$$。最后，我们将其简化为
+
 $$
 G[k] = A_k + W_N^k B_k \quad(5.17)
 $$
@@ -206,32 +234,43 @@ $$
 让我们假设只用公式5.17来计算前N/2项，即G[0]到G[N/2-1]，再使用另一个等式导出剩余的N/2项，即从G[N/2]到G[N-1]的项。虽然这可能看起来很愚蠢（为什么要做更多的数学计算而且是不必要的？），但你会发现这将使我们能够利用更加对称的方式，得到一种我们在4点FFT研究中看到的那种计算模式。
 
 为了计算更高频率G[N/2]到G[N-1]，让我们推导出相同的方程，但这次使用k=N/2，N/2+1,...,N/2-1。因此，我们希望计算：
+
 $$
 G[k + N/2] = \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{N-1} g[n] \cdot e^{\frac{-j 2 \pi (k + N/2) n}{N}} \text{ for } k = 0, \ldots, N/2 - 1\quad(5.18)
 $$
+
 这类似于具有不同指数的公式5.13，即我们用公式5.13代替k，其中k+N/2。用我们之前执行的相同变换集，我们可以将它直接移动到等式5.16，但用k+N/2替换k，可得：
+
 $$
 G[k + N/2] = \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{N/2-1} g[2n] \cdot e^{\frac{-j 2 \pi (k + N/2) n}{N/2}} + e^{\frac{-j 2 \pi (k + N/2)}{N}} \cdot \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{N/2-1} g[2n+1] \cdot e^{\frac{-j 2 \pi (k + N/2) n}{N/2}} \quad(5.19)
 $$
+
 我们可以减少求和中的复指数，如下所示：
+
 $$
 e^{\frac{-j 2 \pi (k + N/2) n}{N/2}} = e^{\frac{-j 2 \pi k n}{N/2}} \cdot e^{\frac{-j 2 \pi (N/2) n}{N/2}} = e^{\frac{-j 2 \pi k n}{N/2}} \cdot e^{-j 2 \pi n} = e^{\frac{-j 2 \pi k n}{N/2}} \cdot 1\quad(5.20)
 $$
+
 第一次简化使用了幂规则来分割指数。第二次简化取消了在第二指数中的N/2项。最后的简化使用n是非负整数的事实，因此$$e^{-j2\pi n}$$将始终是2π的倍数的旋转。这意味着该项始终等于1。
 
 现在让我们来处理第二个复指数：
+
 $$
 e^{\frac{-j 2 \pi (k + N/2)}{N}} = e^{\frac{-j 2 \pi k }{N}} \cdot e^{\frac{-j 2 \pi N/2 }{N}} = e^{\frac{-j 2 \pi k }{N}} \cdot e^{-j  \pi} = - e^{\frac{-j 2 \pi k }{N}}\quad(5.21)
 $$
+
 第一次简化使用幂规则分割指数。第二次对第二个指数进行了一些简化。我们通过等式$${e^{-j\pi n}=-1}$$得到了最终形式。
 
 ![图5.3：从两个N/2点FFT构建N点FFT。在偶数输入上执行上N/2点FFT; 较低的N/2点FFT使用奇数输入。](images/NptFFT.jpg)
 
 通过将式5.20和式5.21代入式5.19.我们得到
+
 $$
 G[k + N/2] = \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{N/2-1} g[2n] \cdot e^{\frac{-j 2 \pi k n}{N/2}} - e^{\frac{-j 2 \pi k}{N}} \cdot \displaystyle\sum\limits_{n=0}^{N/2-1} g[2n+1] \cdot e^{\frac{-j 2 \pi k n}{N/2}} \quad(5.22)
 $$
+
 注意到它和式5.16很相似，我们把它带入式5.16可以得到：
+
 $$
 G[k + N/2] = A_k - W_N^k B_k\quad(5.23)
 $$